Chemisch Rekenen
1. Significantie
Veel berekeningen worden gedaan om experimenten uit te voeren. Hiervoor is het belangrijk om met enig nauwkeurigheid te werken. Stel een emmer met een liter water wordt afgewogen en deze weegt 1 kilogram. Vervolgens worden een paar druppeltjes water toegevoegd in de emmer en de inhoud wordt weer gewogen. Het gewicht is echter nog steeds 1 kilogram, betekent dit de emmer niet zwaarder is geworden? Hadden de drupjes dan geen massa?
Het antwoord is natuurlijk nee, de massa van de emmer is wel veranderd, maar het meetinstrument (weegschaal) kan dit verschil niet meten. Dit is een beperking in de nauwkeurigheid van de weegschaal. Zo kan op de weegschaal elk getal tussen de 0,5 kg en 1,5 kg worden afgerond tot 1 kg. Dit is dus een beperking in de nauwkeurigheid van de meting. Het is dan ook van belang om in de berekeningen al rekening te houden met deze nauwkeurigheid. Zoals wel wordt gezegd dat een groep zo sterk is als de zwakste schakel zo geldt dit ook voor nauwkeurigheid. De berekeningen worden aangepast op de waarde met de laagste nauwkeurigheid. Alle getallen die een nauwkeurigheid aangeven zijn significant, daarom worden deze getallen ook significante cijfers genoemd.
Alle berekeningen worden aangepast op het laagst aantal significante cijfers. Om de significantie te herkennen kijk naar het eerste getal vanaf links dat niet gelijk is aan nul. Alle nulwaarden voor dit eerste getal zijn niet significant. Deze zeggen niets over de nauwkeurigheid over de meting. Alle getallen achter deze eerste getal zijn wel significant. Een aantal voorbeelden van significante cijfers is weergegeven in onderstaande tabel.
| Getallen | Aantal significante cijfers | |
| 3 | 1 | |
| 1,3 | 2 | |
| 1 | De nulletjes voor het getal zijn niet significant | |
| 2 | ||
| 1003,9 | 5 | De nulletjes tussen de 1 en 3 zijn wel significant |
| 2 | De nulletjes voor de 7 zijn niet significant, maar de nulletjes na de 7 zijn wel significant. |
| 3,4 | ||
| 0,8 | ||
| 0,090 | ||
| 30,00 | ||
| 0,0010 | ||
| 35,5010 | ||
| 0,09050 | ||
| 10,003 | ||
| 0,0000001 | ||
Wanneer met hele grote of kleine getallen wordt gewerkt, dan worden deze waarden als machten van tien geschreven. Dit maakt de getallen overzichtelijker. Zo wordt bijvoorbeeld 0,001 wel geschreven als \(1 ⋅ 10^{-3} \) of 100000 als \(1 ⋅ 10^5\). Dit heeft te maken dat elke keer wanneer je vermenigvuldigt met 10, komt er een nul bij en wanneer je deelt door 10, gaat er juist een nul af. Neem onderstaande voorbeelden ter illustratie:
| 1 |
\(10 ⋅ 10 \) | \(1 ⋅ 10\) |
| \(3\) |
\(3 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 \) | \(3 ⋅ 10\) |
| \( \frac{5}{10} \) | \(5 ⋅ 10\) |
Dus \(4 ⋅ 10^3\) schrijf je dan als 4*10^3
en \( 1 ⋅ 10^{-5} \) schrijf je dan als 1*10^(-5), dus let op de haakjes
| 1000 | ||
| 450 | ||
| 5.004 | ||
| 0,03 | ||
| 0,0025 | ||
Nu met een beeld wat significante cijfers zijn en hoe ze te schrijven als decimale cijfers. Nu kan worden overgegaan tot het rekenen met het aantal decimale cijfers.
Regels voor significante cijfers
Bij plus/min: gebruik het laagste aantal decimalen.
Bij keer/delen: gebruik het laagst aantal significante cijfers.
Voorbeeld 1
\[ \mathrm{0,065 g+5,3⋅10^{-2} g }\] We zien een getal als geheel, maar ander heeft x⋅10^(-2). In zulke gevallen schrijven we beide getallen eerst op gelijke wijze. In dit geval schrijven we 0,065 als macht van 10-2, dit geeft ons: \[\mathrm{6,5⋅10^{-2} g+5,3⋅10^{-2} g=11,8⋅10^{-2} g}\]
In dit voorbeeld waren het aantal significante cijfers als gelijk. In volgende voorbeelden wordt gekeken naar alternatieve situaties.
Voorbeeld 2
\[ \mathrm{0,56 mol-4,6⋅10^{-3} mol} \] We maken ook hier de getallen eerst gelijk: \[ \mathrm{0,56 mol- 0,0046 mol = 0,56 mol} \] of \[ \mathrm{56⋅10^{-2} mol - 0,46⋅10^{-2} mol=56⋅10^{-2} mol} \]
Voorbeeld 3
\[ \mathrm{\frac{30,5 mol}{0,100 L}} \] We zien in zowel in de teller als in de noemer drie significante cijfers staan, dus we geven het antwoord dan ook in drie significante cijfers. \[ \mathrm{\frac{30,5 mol}{0,100 L}=305 mol⋅L^{-1}=3,05⋅10^2 mol⋅L^{-1}} \]
Oefenopgaven 1
| \[0,798+1,13=1,928\] | ||
| \[18,998.403.2+83,798=121,794.806.4\] | ||
| \[2,3⋅10^2+2.465=2695\] | ||
| \[ \frac{4,5⋅3,64}{2,978} = 5,500336\] | ||
| \[ \frac{(23,5⋅10^{-3}-25⋅10^{-4}}{0,36} =0,058333\] | ||
Oefenopgaven 2
| \[ 6,89+5,68⋅{10}^{-2}=6,9468 \] | ||
| \[ 3,463⋅{10}^{-3}+2,163⋅{10}^1 -3515,213⋅{10}^{-2}\]\[=-13,51867 \] | ||
| \[ 2,53⋅15,264-15,735=22,88292 \] | ||
| \[ \frac{2,34⋅{10}^2+256,294⋅{10}^{-1}}{46,253} +3,6294=9,243645 \] | ||
| \[ \frac{2,46⋅0,12⋅{10}^2}{14,5-3,084} +90=92,58584 \] | ||
Rekenen met significantie
Noteer machten van tien als x*10^y.
| Bereken de inhoud van een ijzeren blok dat 1,0 meter breed, 2,00 meter hoog en 1,50 meter lang is. | ||
| Water heeft een dichtheid van 998,2 gram per liter. Door de dichtheid te vermenigvuldigen met het volume kan de massa van water worden berekend. Bereken de massa van de inhoud van een fles van 1,5 liter wanneer deze helemaal gevuld is. |
||