Algebra

Tot zover is rekenen met getallen behandeld, met algebra wordt in plaats van getallen gerekend met letters. Dit biedt de mogelijkheid om formules te generaliseren. Deze letters kunnen namelijk elk getal voorstellen. Door letters te gebruiken hoeven niet specifieke getalvoorbeelden te worden gebruikt om algemene principes uit te leggen, maar kan de formules worden gegeven met letters. Wanneer deze formule wordt gebruikt kan altijd voor de cijfers worden gekozen waar de letter symbool voor staat.

Maar het gaat nog iets verder dan dat. Het geeft de mogelijkheid om de natuur om ons heen te beschrijven. Doordat elke letter elke waarde (getal) kan aannemen, kan een leesbare formule worden opgesteld zonder getallen te geebruiken, maar toch omschrijven hoe de wetten van de natuur zich met elkaar verhouden.

1. Vergelijkingen

Voordat we verder ingaan op de bewerkingen moet eerst nog even een paar notaties worden behandeld. In rekenen is het gebruikelijk om het symbool \(×\) te gebruiken voor vermenigvuldigingen, maar in de algebra wordt dit symbool vervangen door \(\cdot \). Dit is omdat een onbekende waarde meestal wordt aangegeven met de letter x. In onderstaande vergelijking is het symbool nog goed te onderscheiden van de letter x, maar dit wordt al lastiger wanneer vergelijkingen met de hand worden geschreven. In andere gevallen wordt het symbool helemaal weg gelaten. De stip wordt vaak gezet om verwarring te voorkomen. \[y=a×x=a \cdot x = ax\]

De letters in vergelijkingen worden variabelen genoemd. Zo heeft bijvoorbeeld de vergelijking \( 3x+2=4 \) maar een variabele ( \(x\) ) en de vergelijking \( y = 3x+5 \) twee variabelen ( \(x\) en \(y\) ). De variabelen zijn dus de letters waarvan de waarde niet bekend is.

In dit hoofdstuk zal elke sectie een overzicht geven van de formules die worden behandeld. Deze formules zijn ook in het formuleblad te vinden. Onderstaande formules bieden alleen een overzicht voor de rekenregels die in deze sectie worden behandeld.

1. \(x+a=y\) \(\longleftrightarrow\) \(x=y-a\)
2. \(ax = a \cdot x = y\) \(\longleftrightarrow\) \(x=\frac{y}{a}\)

In de volgende sectie zullen ook de volgende vergelijkingen aan bod komen.

3. \(x^{\frac{1}{n}}=y\) \(\longleftrightarrow\) \(x=y^{n}\)
4. \(x^{\frac{a}{n}}=y\) \(\longleftrightarrow\) \(x=y^\frac{n}{a}\)


1.1 Oplossen van een onbekende

Wanneer wordt gesproken over het oplossen van een onbekende dan wordt bedoeld dat een variabele met een onbekende waarde wordt berekend. Om een variabele weg te werken doe je altijd de tegengestelde bewerking. In de volgende paragraaf zal dit worden verduidelijkt met voorbeeld, voor nu is het eerst van belang om de rekenregels goed te begrijpen, want we in de omgekeerde volgorde van de rekenregels.

Hiërarchie rekenregels:

  1. Haakjes uitwerken
  2. Machten en wortels (logaritmes)
  3. Keer en gedeeld door
  4. Plus en min

Om het mechanisme van het oplossen van vergelijking meer te verduidelijken neem de volgende voorbeelden eens door. De voorbeelden beginnen bij de meest eenvoudige gevallen en bouwen op naar de meer complexe situaties. We willen een getal berekenen dat hoort bij de letter \(x\). Neem als voorbeeld de volgende formule

\(x=1+5\) \(x=6\) want, \(1+5=6\)
\(6=x-2\) \(x=8\) want, \(6+2=8\)

Voorbeeld 1: Los de vergelijkingen op

Los in onderstaande vergelijkinge telkens de onbekende waarde op:

  1. \(x+3=5\)
  2. \(a-4=8\)
  3. \(5b=25\)

In elke formule kijken we eerst naar de waarde dat naast de onbekende \(x,a,b\) staan en werken deze getallen weg door de omgekeerde bewerking te doen. Wat we aan de ene kant van de vergelijking doen moeten we ook aan de andere kant van de vergelijking doen.
1. Dus voor de eerste vergelijking doen we beide kanten \(-3\), want \(x+3-3=x+0=x\) en hebben we \(x\) vrijgemaakt. Als we hetzelfde doen aan de andere kant, namelijk \(5-3=2\) dan is ons antwoord \(x=2\). Dit kunnen we wat overzichtelijker schrijven als:

  • \[ x+3=5 \]
  • \[ -3↓-3 \]
  • \[ x=5 \]

2. In deze vergelijking is \(a\) de onbekende die moet worden opgelost, want we zien ook geen andere letters die mogelijk de onbekende waarde zouden kunnen zijn. Hier zien we dat we \(a-4\) hebben. De tegengestelde van − is +, dus we doen nu beide kanten \(+4\).

  • \[ a-4=8 \]
  • \[ +4↓+4 \]
  • \[ a=12 \]

3. In deze vergelijking is de variabele \(b\) de onbekende dat moet worden opgelost. We zien nu geen plus of min staan, maar alleen \(5b\). Dit is een korte notatie van een vermenigvuldiging. Hier staat dus eigenlijk \(5 \cdot b \). De tegengestelde bewerking van een vermenigvuldiging is een deling. Dus als we \(b\) willen vrijmaken, dan delen we door vijf. \[5 \cdot b:5 = 5:5 \cdot b = 1 \cdot b = b\] Aan de andere kant van de vergelijking (het rechterlid) doen we hetzelfde: \(25:5=5\).

  • \[ 5b=25 \]
  • \[ :5↓:5 \]
  • \[ b=5 \]

Met kleinere formules zoals \[2 \cdot x = 3 \] kun je misschien wel meteen zien dat \(x = 6\), want \(2 \cdot 3=6 \).
Op dezelfde manier kunnen we zien bij de formule: \[7 = 5 + x\] \(x = 2\), want \(5+2=7\).
Echter, na mate de formules steeds ingewikkelder worden en meerdere bewerkingen nodig zijn is een stappenplan nodig. Deze stappenplan om een onbekende waarde \(x\) te berekenen is met de balansmethode

Voorbeeld 2: Prioriteitsregels

Gegeven is een zogenaamde lineaire vergelijking. Op opgave is om \( x \) vrij te maken. \[ y=3x+5 \] We moeten dus \( x \) in het linkerlid zien te krijgen en \( y \) in het rechterlid. We beginnen daarom eerst met beide kanten min vijf te doen. Dit geeft dan: \[ y-5=3x \] We draaien de formule even om zodat \(3x\) in het linkerlid staat en \(y-5\) in het rechterlid. \[ 3x = y-5\] We hebben hier nu \( 3x \) staan, oftewel \(3 \cdot x \). Als we \( x \) vrij willen maken moeten we beide kanten delen door drie: \[ \frac{3x}{3}=\frac{y-5}{3} \] En dus: \[ x = \frac{y-5}{3} \]

Voorbeeld 3: Haakjes in vergelijkingen

Gegeven is de vergelijking: \[ 3(x+5) = 45\]

Deze opgave kan op verschillende wijzen worden opgelost. De eerst is door de haakjes uit te werken en dan de vergelijking op te lossen.

  • \[ 3(x+5)=3x+3\cdot 5=3x+15 \]
  • \[ 3x+15 = 45\]
  • \[ -15↓-15 \]
  • \[ 3x=30 \]
  • \[ :3↓:3 \]
  • \[ x=10 \]

Een alternatieve methode is om de drie eerst weg te delen en daarna de vergelijking verder op te lossen:

  • \[ 3(x+5) = 45\]
  • \[ :3↓:3 \]
  • \[ x+5=15 \]
  • \[ -5↓-5 \]
  • \[ x=10 \]

We hebben hier namelijk te maken met twee zogenaamde factoren, namelijk de 3 en (x+5). Deze kunnen tegen elkaar worden weggedeeld. Bij vermenigvuldigingen spreken we van factoren en bij plus en min spreken we van termen. Wanneer we twee termen zouden hebben dan zou dit bijvoorbeeld al niet werken.

Het truucje dat in voorbeeld 3 werd geïllustreerd kan dus wel wanneer er twee factoren zijn, maar niet wanneer er twee termen zijn. Dus een paar vergelijkingen als voorbeeld:

\[x\left(a+b\right)=y\] Hier kan het wel, want er zijn twee factoren. Je kunt dus delen door \( \left(a+b\right) \) oplossing: \(x=\frac{y}{a+b}\)
\[x-\left(a+b\right)=y\] Hier kan het niet, want hier zijn twee termen \(x, -\left(a+b\right)\) en twee factoren \(-1, \left(a+b\right) \). Je zou eerst de haakjes moeten uitwerken. \( \left(a+b\right) \) Oplossing: \(x-\left(a+b\right)=x-a-b=y \rightarrow x=y+a+b\)
\[x+\left(a+b\right)=y\] Hier kan het niet, want er zijn alleen maar termen. De haakjes hebben in dit geval geen toegevoegde waarde en kunnen worden weggelaten. oplossing: \(x=y-a-b\)

Voorbeeld 4: Vergelijkingen met gelijke termen

Los onderstaande vergelijking op: \[39-7x+3(x+1)=300-44\]

Eerder werd gesproken over termen, nu zien we in het linkerlid \(39-7x+3(x+1)\) en in het rechterlid \(300-44\). De termen in het rechterlid zijn gelijke termen en deze kunnen we dus samennemen en krijgen dan de vergelijking: \[39-7x+3(x+1)=256\]

Als we de haakjes uitwerken in het linkerlid \(39-7x+3(x+1)=39-7x+3x+3\) dan zien we twee gelijke termen, namelijk \(39, 3\) en \(-7x, 3x\). Deze gelijke termen kunnen we ook samennemen. \[39-7x+3x+3=36-4x\] Met alle termen samengenomen krijgen we uiteindelijk de vergelijking \[ 36-4x=364 \]

Door gelijke termen samen te nemen wordt de vergelijking overzichtelijker en daardoor makkelijker op te lossen. Deze vergelijking wordt vervolgens met de balansmethode opgelost:

  • \[ 36-4x=364 \]
  • \[ -36↓-36 \]
  • \[ -4x=328 \]
  • \[ :(-4)↓:(-4) \]
  • \[ x=84 \]

1.2. Oefenopgaven

Geef de waarde van x uit de volgende vergelijking.

\[x - 3 = 6\] \(x =\)

\[4 \cdot x = 12\] \(x =\)

\[2 \cdot x + 4 = 8\] \(x =\)

\[\frac{x}{4} + 2 = 4\] \(x =\)

\[2x+1=3\] \(x =\)

Klik hier voor meer oefenopgaven.