Differentiëren

Het is belangrijk om functies te begrijpen. Een functie kan in het kort worden samengevat als volgt. Neem de vergelijking \[y=ax+b\] Hierbij is \(y\) de afhankelijke variabele en \(x\) de onafhankelijke variabele. Dat wil zeggen, voor elke waarde van \(x\) komt er een waarde \(y\) uit. De waarden \(a\) en \(b\) zijn constanten en zijn dus een getal die niet veranderen. Om aan te geven dat \(y\) een afhankelijke waarde van \(x\) is kan de vergelijking worden herschreven \[y\left(x\right)=ax+b\] De waarde tussen haakjes zijn de onafhankelijke waarden. In bovenstaande vergelijking wordt dus gezegd dat de waarde \(y\) afhangt van de waarde \(x\) of in wiskundige termen “\(y\) een functie van \(x\)”. Echter, meestal wordt niet de letter \(y\) maar \(f\) geschreven als functie: \[f\left(x\right)=ax+b \tag{0}\] Wordt uitgesproken als: \(f\) is een functie van \(x\).

Voor een lineaire vergelijking is gezien dat de helling kan worden berekend door het verschil in de \(y\)-waarden te delen door het verschil in de \(x\)-waarden. Dit wordt weergegeven met de vergelijking \(a=Δy/Δx\). Waarin de Griekse hoofdletter delta (\(∆\)) een verschil aangeeft. Als deze vergelijking zou worden herschreven met functies dan is het goed om eerst even een paar punten door te nemen.

Als \(∆x\) het verschil in \(x\)-waarden aangeeft in een grafiek dan kan worden gesteld: \[\Delta x=x_2-x_1\] Deze vergelijking kan worden herschreven als: \[x_2=x_1+\Delta x\] Dus voor ieder punt \(x\) is het opvolgende punt op de \(x\)-as \(x+∆x\). Als \(∆y\) nu als functies \(f(x)\) wordt geschreven, dan kan worden gesteld: \[∆y=fx+∆x-fx\] Een nieuwe vergelijking voor de helling \(a\) kan dan worden opgesteld. \[a=\frac{f(x+\mathrm{Δ}x)−f(x)}{\mathrm{Δ} x} \tag{1} \label{differentiequotiënt}\] Deze vergelijking wordt ook wel het differentiequotiënt genoemd.

Opmerking: In sommige schoolboeken wordt ook wel \(h\) gebruikt in plaats van \(\mathrm{Δ} x\). In dit hoofdstuk zal de notatie \(\mathrm{Δ} x\) worden gebruikt.