Differentiëren
1. Voorkennis
Om differentiëren te begrijpen is het goed om eerst een aantal punten door te nemen.
1.1. Functies
Het is belangrijk om functies te begrijpen. Een functie kan in het kort worden samengevat als volgt. Neem de vergelijking \[y=ax+b\] Hierbij is \(y\) de afhankelijke variabele en \(x\) de onafhankelijke variabele. Dat wil zeggen, voor elke waarde van \(x\) komt er een waarde \(y\) uit. De waarden \(a\) en \(b\) zijn constanten en zijn dus een getal die niet veranderen. Om aan te geven dat \(y\) een afhankelijke waarde van \(x\) is kan de vergelijking worden herschreven \[y\left(x\right)=ax+b\] De waarde tussen haakjes zijn de onafhankelijke waarden. In bovenstaande vergelijking wordt dus gezegd dat de waarde \(y\) afhangt van de waarde \(x\) of in wiskundige termen “\(y\) een functie van \(x\)”. Echter, meestal wordt niet de letter \(y\) maar \(f\) geschreven als functie: \[f\left(x\right)=ax+b \tag{0}\] Wordt uitgesproken als: \(f\) is een functie van \(x\).
1.2. Differentiequotiënt
Voor een lineaire vergelijking is gezien dat de helling kan worden berekend door het verschil in de \(y\)-waarden te delen door het verschil in de \(x\)-waarden. Dit wordt weergegeven met de vergelijking \(a=Δy/Δx\). Waarin de Griekse hoofdletter delta (\(∆\)) een verschil aangeeft. Als deze vergelijking zou worden herschreven met functies dan is het goed om eerst even een paar punten door te nemen.
Als \(∆x\) het verschil in \(x\)-waarden aangeeft in een grafiek dan kan worden gesteld:
\[\Delta x=x_2-x_1\]
Deze vergelijking kan worden herschreven als:
\[x_2=x_1+\Delta x\]
Dus voor ieder punt \(x\) is het opvolgende punt op de \(x\)-as \(x+∆x\). Als \(∆y\) nu als functies \(f(x)\) wordt geschreven, dan kan worden gesteld:
\[∆y=fx+∆x-fx\]
Een nieuwe vergelijking voor de helling \(a\) kan dan worden opgesteld.
\[a=\frac{f(x+\mathrm{Δ}x)−f(x)}{\mathrm{Δ} x} \tag{1} \label{differentiequotiënt}\]
Deze vergelijking wordt ook wel het differentiequotiënt genoemd.
Opmerking: In sommige schoolboeken wordt ook wel \(h\) gebruikt in plaats van \(\mathrm{Δ} x\). In dit hoofdstuk zal de notatie \(\mathrm{Δ} x\) worden gebruikt.
Voorbeeld 1 - differentiequotiënt van een rechte lijn
In onderstaande afbeelding is een functie \(f\left(x\right)=ax+2\) weergegeven.
Bereken het differentiequotiënt \(∆f/∆x\).
Uitwerking: Uit de grafiek is af te lezen.
\[f\left(8\right)=10\]
Met \(∆x=2\) kan worden gesteld dat \(x+∆x=8+2=10\).
En dus, \(f(x+∆x)=f(10)\)
Uit de grafiek is af te lezen \(f\left(10\right)=12\).
Het differentiequotiënt \(∆f/∆x\) is dan
\[\frac{∆f}{∆x}=\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}=\frac{f(10)-f(8)}{2}\]
\[\frac{∆f}{∆x}=\frac{12-10}{2}=1\]
Test je kennis
Hoe kleiner het verschil is tussen de coördinaten hoe beter de raaklijn overeenkomt met de lijn op de grafiek.
2. Afgeleide Functies
Functies die worden berekend met de differentiequotiënt heten ook wel de afgleide functies. Deze functies zijn namelijk afgeleid van de helling van de functie. Echter, bij een afgeleide functie wordt een interval (\(\mathrm{Δ} x\)) gebruik die bijna gelijk is aan nul, het is oneindig klein. De waarde is niet gelijk aan nul, maar het nadert nul. Voor de beeldvorming, het is alsof we naar een individueel atoom zoeken in het hele universum. Wanneer met zulke kleine getallen wordt gewerkt dan gebruiken we limieten. Dit leidt dan tot een alternatieve schrijfwijze van de differentiequotiënt. \[\frac{df}{dx}=\lim\limits_{\mathrm{Δ}x \to 0} \frac{f(x+\mathrm{Δ}x)−f(x)}{\mathrm{Δ}x} \tag{2} \label{afgeleide}\] De limiet wordt aangegeven met \(\lim\limits_{\mathrm{Δ}x \to 0}\) waarin de voorwaarde onder de limiet wordt geschreven. In dit geval is de voorwaarde dat het verschil tussen de \(x\) waarden bijna gelijke is aan nul (lees: \(\mathrm{Δ}x\) nadert 0). Het valt op dat de vergelijking niet meer wordt geschreven als de differentiequotiënt \(Δf/Δx\). Wanneer het verschil de nul naderd wordt de notatie \(df/dx\) gebruikt.
Neem de afgeleide van een rechte lijn \(f(x)=ax+b\) dan kan met de differentiequotiënt worden berekend. \[f(x)=ax+b\] De positie ten opzichte van \(x\) wordt weergeven met \(x+\mathrm{d}x\) \[f(x+dx)=a(x+\mathrm{d}x)+b=ax+a\mathrm{d}x+b\] Door deze waarden in te vullen dan de differentiequotiënt worden gevonden \[\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+a\mathrm{d}x+b-ax-b}{\mathrm{d}x}=\frac{a\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=a\]
Voorbeeld 2. Afgeleide 2x+1
\[f\left(x\right)=2x+1\] \[f\left(x+\mathrm{d}x\right)=2(x+\mathrm{d}x)+1=2x+2\mathrm{d}x+1\] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{f\left(x+\mathrm{d}x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{2x+2\mathrm{d}x+1-\left(2x+1\right)}{\mathrm{d}x}\] gelijke termen samennemen in de teller: \[\frac{2x+2\mathrm{d}x+1-2x-1}{\mathrm{d}x}=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\] Dit geeft dan: \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=2\]
Exponentiële functies volgen de regel: \[f(x)=cx^{n}\ \rightarrow\ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=cnx^{n-1}\] Neem onderstaande voorbeelden ter illustratie.
Voorbeeld 3. Afgeleide \(x^2\)
Differentieer de functie \(f(x)=x^2\) met de differentiequotiënt. \[f(x)=x^2, f(x+\mathrm{d}x)=(x+\mathrm{d}x)^2\] \[f(x+\mathrm{d}x) − f(x) = (x+\mathrm{d}x)^2 − x^2 = x^2 +2 \cdot x \cdot \mathrm{d}x + \mathrm{d}x^2 − x^2 \] \[f(x+\mathrm{d}x) − f(x) = 2 \cdot x \cdot \mathrm{d}x + \mathrm{d}x^2 \] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim\limits_{\mathrm{d}x \to 0} \frac{2 \cdot x \cdot \mathrm{d}x + \mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}x}\] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim\limits_{\mathrm{d}x \to 0} \frac{\mathrm{d}x(2x + \mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x}\] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=2x + \mathrm{d}x = 2x\]
Voorbeeld 4. Afgeleide \(x^3\)
Bereken de afgeleide van de functie \(f(x)=x^3\). De volledige vergelijking dat hoort bij de afgeleide van \(x^3\) is een complexe formule. \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{x^3+3x^2 dx+3x(\mathrm{d}x)^2+(dx)^3−x^3}{\mathrm{d}x}\] De variabelen \(x^3\) vallen tegen elkaar weg en levert de vergelijking: \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^2 \mathrm{d}x+3x(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}x)^3 }{\mathrm{d}x}\] De waarde \(\mathrm{d}x\) boven de breuk in het rechter lid kan worden ontbonden in factoren. \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{dx(3x^2+3x\mathrm{d}x+(\mathrm{d}x)^2 )}{\mathrm{d}x}\] Deze waarden van dx kunnen vervolgens tegen elkaar worden weg gestreept. \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=3x^2+3x\mathrm{d}x+(\mathrm{d}x)^2 \] Bij berekenen van een afgeleide worden de waarde zo minimaal mogelijk gemaakt, oftewel er wordt een limiet (lim) ingsteld waarin de waarde \(\mathrm{d}x\) zo dicht mogelijk bij de nul komt (\(\mathrm{d}x \to 0\)). Dit betekent dat de waarde die bij dx hoort kan worden verwaarloost en dat de formule kan worden herschreven als 3x2 als de afgeleide van \(x^3\). \[\frac{\mathrm{d}(x^3 )}{\mathrm{d}x}=\lim\limits_{\mathrm{d}x \to 0}{3x^2+3x\cdot \mathrm{\mathrm{d}}x+(\mathrm{\mathrm{d}}x)^2} =3x^2 \]
Test je kennis
\(\frac{dy}{dx}=2-0=2\)
\[f\left(x\right)=x\left(3-a\right)=3x-ax\] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=3-a\]
\[v\left(t\right)=25x^2-30x+9\] \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=50x-30\]
\[\frac{df}{dx}=-x^2+1\]
\[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=3\sqrt x\] Uitwerking: Begin voor het differentiëren met het herleiden van de formule. \[\sqrt{4x}=\sqrt4\cdot\sqrt x=2\sqrt x\] Schrijf de wortel als een gebroken macht: \[\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\] Een geüpdatet versie van de formule is dan \[h=x\sqrt{4x}=x2x^\frac{1}{2}\] met \(x=x^1\), \[x^1\cdot x^\frac{1}{2}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^\frac{3}{2}\] Hiermee kan \(h\) worden herschreven als: \[h=2x^\frac{3}{2}\] Differentieer: \[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=2\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=3\cdot x^\frac{1}{2}\] \[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=3\sqrt x\]
\[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}n}=-\frac{15}{n^4}\] Uitwerking: Herschrijf de breuk als een negatieve macht: \[\frac{5}{n^3}=5\cdot n^{-3}\] Dit geeft de differentieerbare vergelijking: \[m=5n^{-3}+3\] Differentieer: \[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}n}=5\cdot\left(-3\right)\cdot n^{-4}+3\cdot0\] \[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}n}=-15n^{-4}=-\frac{15}{n^4}\]
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{t\sqrt[3]{t}}+10t\]
Uitwerking:
Schrijf de wortel in de noemer als een negatieve gebroken exponent:
\[\frac{3}{\sqrt[3]{t}}=3t^{-\frac{1}{3}}\]
Dit geeft de vergelijking:
\[p=3t^{-\frac{1}{3}}+5t^2\]
Differentieer:
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot t^{-\frac{4}{3}}+5\cdot2\cdot t^1\]
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-t^{-\frac{4}{3}}+10t=-\frac{1}{\sqrt[3]{t^4}}+10t\]
Haal gehele machten uit te wortel:
\[\sqrt[3]{t^4}=\sqrt[3]{t^3\cdot t}=\sqrt[3]{t^3}\cdot\sqrt[3]{t}=t\sqrt[3]{t}\]
Dit geeft het eindantwoord:
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{t\sqrt[3]{t}}+10t\]