Getallen

Wanneer aantallen worden samengevoegd wordt dit aangeduid met een plus teken (+). Ter illustratie: wanneer twee mensen zich in een kamer bevinden en op een later moment komen hier vier mensen bij dan zijn het aantal mensen \( 2+4=6 \). In tegenstelling tot samenvoegingen wordt het verschil tussen twee aantallen weergegeven met een min teken (−). Als we hetzelfde voorbeeld gebruiken, maar we hebben daarnaast nog een kamer met zeven personen. Dan verschillen het aantal personen in de kamer met \( 7-6 =1 \) persoon. Naast een verschil kan ook afname worden weergegeven met het min teken. Want als we de kamer van zeven personen nemen, en drie mensen verlaten de kamer, dan zijn er nog \( 7-3=4 \) mensen in de kamer over.

Bij een vermenigvuldiging wordt het aantal maal (keer) weergegeven dat een bepaald grond met zichzelf wordt opgeteld. In andere woorden, het geeft aan hoe vaak dat getal met zichzelf wordt opgeteld. Een vermenigvuldiging wordt aangegeven met het symbool (×) of met een stip (⋅). Als voorbeeld de som twee keer vier:
\( 2 \times 4 = 2 + 2 + 2 + 2=8 \) of \( 4 + 4 = 8\)
Ter illustratie, wanneer iemand vier keer een glas laat vallen. Dan heeft deze persoon \( 4 \times 1 = 1+1+1+1 = 4\) glazen laten vallen laten vallen. Als er in totaal 20 glazen zijn, dan heeft deze persoon vier van de twintig glazen laten vallen. Hoe vaak moet vier worden vermenigvuldigd om 20 te krijgen? \( 4+4+4+4+4=20 \), we tellen vijf keer vier, zoals je het zegt, zo schrijf je het ook \(5 \times 4 = 20 \). Het tegengestelde van een vermenigvuldiging is een deling, wat laat zien hoe een bepaalde waarde verdeeld is over het geheel. Zo kan de vorige som bijvoorbeeld worden herschreven als: \( 5 \times 4 = 20 \rightarrow 20:4=5 \) en \( 20:5=4 \)

Klik hier voor een rekenquiz om je vaardigheden te toetsen.

Bij een machtsverheffing wordt in het exponent weergeven hoe vaak het grondgetal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. \[ grondgetal^{exponent} \] Dit wordt dan uitgesproken als “grondgetal tot de macht exponent”. Ter illustratie, we nemen de macht drie tot de macht twee ( \(3^2\) ), dan is 3 het grondgetal 2 het exponent. Oftewel, het grondgetal wordt tweemaal met zichzelf vermenigvuldigd, dus \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). Deze formule staat, samen met aanvullende voorbeelden, in onderstaand tabel weergeven.

Een tegengestelde bewerking van machten zijn wortels. Deze worden meestal weergegeven met het symbool \( \sqrt{x} \) waarin \( x \) een getal is. Zoals eerder werd geïllustreerd met de machten van 10, kan worden gesteld dat:

Nu is het alleen niet zo dat het altijd duidelijk wat de wortel van een bepaald getal is, daarvoor zou je namelijk eerst moeten weten welke twee gelijke getallen met elkaar moeten worden vermenigvuldigd om het getal van de wortel te krijgen. Stel, er zou worden gevraagd om de wortel van 169 te berekenen, dan is het niet meteen duidelijk dat dit 13 is, want \( 13 \times 13 = 169 \) . Daarom is het ook een kwestie van goed oefenen om inzicht op te bouwen en zo het rekenen met wortels onder de knie te krijgen. Mocht het nog niet helemaal duidelijk zijn wat wortels precies inhouden, kijk nog eens naar onderstaande tabel waar verschillende machten van twee worden weergegeven met de wortels in de rechterkolom.

Klik hier voor een rekenquiz om je kennis en vaardigheden in wortels en machten te toetsen.

Omdat breuken een alternatieve weergave zijn betekent dit ook dat dit een tegengestelde bewerking is van een vermenigvuldiging. Wanneer twee dezelfde waarden in de teller en noemer staan mogen dezen tegen elkaar worden weggestreept. Op deze manier kunnen breuken worden vereenvoudigd. Zo geldt bijvoorbeeld dat \[ 2\times3:2=3 \] Als een getal door zichzelf wordt gedeeld, valt deze weg. Ditzelfde principe geldt ook voor breuken, zo kunnen we bijvoorbeeld ook schrijven \[ \frac{2\times3}{2}=3 \] Voor grotere getallen kan het vereenvoudigen worden gedaan door gemeenschappelijke delers te zoeken in de teller en noemer. Zo kan de breuk 4/8 (lees: vier achtste) ook worden geschreven als 1/2 (lees: één tweede) \[ \frac{4}{8}=\frac{2\times2\times1}{2\times2\times2}=\frac{1}{2}=0,5 \] Als je beide breuken in de rekenmachine zou invoeren zou je ook twee keer hetzelfde antwoord krijgen.

Getallen dat als een breuk kan worden geschreven van gehele getallen heten ook wel de rationale getallen. Breuken bestaan uitsluitend uit gehele getallen, want breuken zijn eigenlijk een andere weergave van decimale getallen. Zo kan worden gesteld dat “Alle breuken kunnen worden geschreven als decimaal getal, maar niet alle decimale getallen kunnen worden geschreven als een breuk.” Maar voordat we voorbeelden doornemen van breuken en decimale getallen is het goed om eerst om de rekenregels van breuken door te nemen.

Wanneer twee breuken bij elkaar worden opgeteld moet eerst de noemer gelijk worden gemaakt. Dit kan door de noemers eerst met elkaar te vermenigvuldigen en daarna de tellers van de breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk.

Bij het vermenigvuldigen van een breuk wordt de tellers en de noemers van beide breuken vermenigvuldigd. \frac{a}{b}\times\frac{x}{y}=\frac{a\times x}{b\times y} Een geheel getal vermenigvuldigd met een breuk is gelijk aan het gehele getal keer de noemer.

Wanneer twee breuken door elkaar worden gedeeld, dan is dit gelijk aan een vermenigvuldiging van de breuk met de omgekeerde breuk. Hierbij wordt de breuk in de noemer omgedraaid: \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{x}{y}}=\frac{a}{b}/\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\times\frac{y}{x}=\frac{a\times x}{b\times y} \]

Een breuk mag geen decimale cijfers bevatten, want in de meeste gevallen zijn decimale cijfers zelf breuken. Om een decimaal cijfer als breuk te schrijven, schrijf het eerst als een breuk van 100 en vereenvoudig deze vervolgens. Andersom kan een soortgelijke methode worden toegepast. Schrijf de breuk als een breuk van 100 en reken deze om naar een decimale cijfer. Een breuk van 100 geeft namelijk aan dat de komma twee plaatsen worden opgeschoven naar links.

Schrijf onderstaande breuken als een decimaal getal.

1. \( \frac{7}{10} \)
2. \( \frac{4}{5} \)
3. \( \frac{1}{25} \)

1. Je kan het getal meteen delen door 10, dus de komma schuift dan één plaats naar links in plaats van twee. Of schrijf het eerst als breuk van 100 en reken deze daarna om. \[ \frac{7}{10}=\frac{70}{100}=0,7 \]

2. Schrijf eerst als een breuk van 100 en reken deze daarna om. \[ \frac{4}{5}=\frac{4\times20}{5\times20}=\frac{80}{100} \] \[ \frac{80}{100}=0,8 \]

3. Schrijf wederom eerst als een breuk van 100. \[ \frac{1}{25}=\frac{1\times4}{25\times4}=\frac{4}{100} \] Reken deze vervolgens om: \[ \frac{4}{100}=0,04 \]

Voordat het verband tussen wortels en machten kan worden weerlegd is het goed om eerst weer even stil te staan bij machten in zijn geheel. Bij het rekenen van machten zijn namelijk de volgende rekenregels van toepassing. Om weer even op de termen op een rijtje te krijgen, machten bestaan uit een grondgetal \(g\) en een exponent \(x\). Het grondgetal is het getal dat wordt vermenigvuldigd en het exponent is het aantal maal. Dus in de formule: \[g^x\] Met als voorbeeld: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

Voor het optellen of aftrekken van machten moet volgens de rekenregels worden gewerkt. Eerst worden de machten berekend en daarna worden deze bij elkaar opgeteld.

Wanneer de grondgetallen gelijk aan elkaar zijn, dan kan bij een vermenigvuldiging alleen de exponenten bij elkaar worden opgeteld. Bij het delen geldt het omgekeerde, dan wordt het verschil in exponent berekend, Maar let op: dit geldt dus niet wanneer het grondgetal verschillend is. Dit principe zal weer worden toegelicht aan de hand van een paar voorbeelden.

Breuken zijn eigenlijk verdelingen of deelsommen. Daarom gelden voor breuken ook dezelfde regels als hiervoor beschreven voor vermenigvuldigingen. Toch kan het soms tot verwarring leiden wanneer eerst een deelsom met een dubbele punt wordt weergegeven en daarna ineens als een breuk. Daarom is het goed om het hier toch even te herhalen.
In het voorbeeld 2 was te zien dat wanneer het exponent gelijk is maar de grondgetallen anders zijn dan de regel kan worden toegepast \[ g^2×v^2=(g×v)^2 \] Waarin \(g\) en \(v\) twee verschillende getallen zijn, of in wiskundige notatie \( g≠v\). Deze regel kan ook worden toegepast op een deelsom en dus op een breuk. \[ \frac{g^2}{v^2}=\left(\frac{g}{v}\right)^2 \]

Gebroken machten of wortels zijn machten met een breuk als exponent. Om te begrijpen waarom een wortel als een gebroken macht kan worden geschreven hervatten we eerst even het decimale stelsel (zie onderstaande tabel).

Hieruit kunnen we de algemene rekenregel voor negatieve machten afleiden, met grondgetal \(g\) en exponent \(x\): \[ g^{-x}=\frac{1}{g^x} \] Daarnaast is te zien dat een getal tot de macht 0 altijd gelijk is aan 1. In andere woorden, er is geen onderverdeling wanneer het exponent gelijk is aan 0. Wanneer het exponent negatief is geeft dit niet meer het aantal maal dat een grondgetal wordt vermenigvuldigd, maar eerder het aantal maal dat er over het grondgetal wordt verdeeld. Dit is ook wat een breuk is, een verdeling van de teller over de noemer.

In de vorige secties zijn vermenigvuldigingen en verdelingen van een grondgetal besproken, maar wat nou als de exponent een breuk is? Wat zegt de exponent dan over de verdeling van het grondgetal? Bij een gebroken macht wordt het grondgetal zelf onderverdeeld in kleine gelijke delen. Waar bij een negatieve macht een verdeling was over de macht van het grondgetal gaat het bij gebroken machten niet over het verdelen van de machten, maar alleen het grondgetal zelf. Dit zal beter worden uitgelegd in de volgend sectie wanneer we gaan kijken naar het rekenen met wortels.

Een gebroken macht of een wortel geeft een gelijke verdeling aan. De wortel van een waarde is gelijk aan de vermenigvuldiging van gelijke waarden. Een alternatieve manier om hiernaar te kijken is dat deze over gelijke zijden wordt verdeeld. Dit zal worden toegelicht aan de hand van een voorbeeld.

Tot zover zijn vierkantswortels besproken, maar de regel geldt voor alle gebroken functies. Zo kan elke gebroken macht worden geschreven als de wortel \[ g^\frac{t}{n}=\sqrt[n]{g^t} \] Wanneer \( n>2 \), dan heten deze wortels ook wel hogeremachtswortels.

Hoewel het een methode kan zijn om wortel als gebroken machten te schrijven om zo de rekenregels te volgens is het toch goed om even afzonderlijk de rekenregels door te nemen. De rekenregels zijn gelijk aan dat van machten. Als we even uitgaan van dat a en b twee verschillende getallen zijn (ongelijk termen), dus \( \left(a\neq b\right) \).
Bij het optellen en aftrekken van ongelijke termen in de wortel kunnen deze niet als een geheel worden geschreven. \[ \sqrt{a}\pm\sqrt{b}\neq\sqrt{a\pm b} \] Hierbij geeft het symbool ± (plus-min) aan dat het een plus of een min kan zijn.

Wanneer een som binnen de wortel staat, moet dan ook eerst de som binnen de wortel worden berekend. Als een som namelijk binnen de wortel wordt geschreven dan worden de haakjes niet geschreven. Zo kan het bijvoorbeeld als een gebroken macht worden geschreven: \[ \sqrt{a\pm b}=\sqrt{\left(a\pm b\right)}=\left(a\pm b\right)^2 \]

Bij vermenigvuldigingen en delingen kunnen de wortels in een wortel worden geschreven (en andersom). \[ \sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{a\times b} \] \[ \frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}} \]

Het vereenvoudigen van een wortel heet ook wel de wortel in de basisvorm schrijven. Alle getallen dienen zover mogelijk buiten de wortel te worden gehaald. Dit kan door te zoeken naar gelijke machten binnen de wortel. Omdat de wortel en de machten tegengestelde bewerkingen zijn heffen deze elkaar op.