Getallenrijen
1. Rekenkundige Rijen
Wanneer oplopende of afnemende waarin in een reeks worden weergegeven wordt er gesproken over een getallenrij. In deze reeksen kan onderscheid worden gemaakt tussen reeksen die los van elkaar staan, of een gehele reeks dat bij elkaar wordt opgeteld zoals te zien is bij een somrij. In dit hoofdstuk zullen we beginnen met wat deze rijen nou eigenlijk zijn. We beginnen met het onderheid maken tussen de verschillende soorten getallenrijen, zoals rekenkundige en meetkundige rijen. Vervolgens zal verder worden ingegaan op somrijen en hoe deze vereenvoudigd kunnen worden weergegeven.
Voor we beginnen is het eerst goed om even wat algemene termen te behandelen. De getallen in een reeks noemen we ook wel de termen.
Neem bijvoorbeeld onderstaande rij:
\[ a_1 , a_2 , a_3 , a_4 ... \]
De getallen \(a_1\) tot \(a_4\) zijn hier dan de termen. De stippellijntjes aan het einde van de reeks geeft aan dat de reeks verder doorloopt. Het is niet duidelijk wanneer deze rij eindigt en kan dus oneindig lang doorgaan. In dit geval spreken we dan over een oneindige rij. Echter, oneindige rijen zullen in aankomende secties nog niet worden besproken,
Wanneer een vaste waarde er steeds bij op wordt geteld dan spreekt met over een rekenkundige rij. Kijk maar eens naar onderstaande voorbeelden:
\[ 1, 2, 3, 4 ... \]
\[ 1, 5, 9, 13, 17 ... \]
\[ 2, 13, 24, 35, 46 \]
Het valt op dat er een constante waarde bij op wordt geteld. Deze constante waarde kan worden berekend door het verschil te berekenen tussen de term en de eerst opvolgende term. Daarom wordt deze constante waarde ook het verschil genoemd. Tot slot, wordt de rij ook wel een reeks genoemd.
1.1 Directe toename
Wanneer de eerste term, of startwaarde, en het verschil bekend zijn, dan ligt de rij vast en kun je elke waarde van de rij berekenen met de formule: \[u_n = u_0 + vn\] Waarin \(v\) het verschil is en \(n\) het aantal keer maal dat dit verschil erbij wordt opgeteld. De term van de rij dat we willen berekenen wordt aangeduid met \(u_n\) en de startwaarde met \(u_0\). Let hierbij goed op dat omdat de startwaarde \(u_0\) is het tellen al begint bij 0 en niet bij 1. Dus als we bijvoorbeeld de achtste term willen berekenen dan berekenen we \(u_7\), en niet \(u_8\).
Bovenstaande formule wordt de directe toename genoemd. Zoals eerder vermeld wordt de directe toename gebruikt wanneer de startwaarde bekend is en de constante waarde. Het is echter niet altijd het geval dat deze waarden bekend zijn, soms worden een paar waarden van de reeks genoemd. In dat geval kan de recursieve toename worden gebruikt.
Voorbeeld 1: Directe formule opstellen
Gegeven is de volgende rekenkundige reeks:
\[ 3,8,13,18,23 \]
Stel de directe formule op die bij deze reeks hoort.
Voor een directe formule willen we de vergelijking oplossen,
\[ u_{n} = u_{0} + vn \]
We zien dat de reeks begin met 3, dus de startterm \(u_{0}=3 \). We zien dat de reeks steeds toeneemt met een factor van vijf.
\[8-3=5, 13-8=5, ..., v=5\]
Met deze gegevens kunnen we de vergelijking opstellen voor de directe formule
\[ u_{n} = 3 + 5n \]
1.2. Recursieve formules
Een recursieve formule is een formule dat een terugkerend patroon omschrijft. In tegenstelling tot een directe formule die we eerder zagen kan deze formule overal in een reeks worden gebruikt. De voorwaarden zijn alleen wel dat de term \(u_r\) en de voorgaande term \(u_{r-1}\) bekend zijn. Het verschil \(v\) kan van hieruit worden berekend. Wanneer we al deze parameters samennemen kunnen we de vergelijking opstellen \[ u_r = u_{r-1} + v \] Let op, we gebruiken hier de letter \(r\) in plaats van \(n\), want we nemen een willekeurige (random) term uit een rij.
Het valt hier op dat er geen startwaarde bekend is, dus hier valt ook niet uit af te leiden wat de omvang is van een reeks. Wanneer een recursieve formule wordt gebruikt is het wel van belang om de startwaarde te berekenen. Het is anders niet te achterhalen welke term in een rij hoort bij \(r\).
Samenvattend
| beginterm = \(u_0\) | beginterm = \(u_1\) | ||
| direct | \[u_n = u_0 + vn\] | \[u_n = u_1 + v(n-1)\] | heeft andere indexering |
| recursief | \[u_n = u_{n-1} + v\] | \[u_n = u_{n-1} + v\] | blijft gelijk |
Test je kennis
De startterm \(u_0 = 1\). Het verschil \(v\) is: \[u_1 - u_0 = 3-1=2 \] Met de directe formule berekenen we dan: \[ u_8 = 1 + 2 \cdot 8 = 17\] Let op, we beginnen met tellen bij \(u_0\), dus de negende term is dan \(u_8\).
We gebruiken de directe toename. \[u_0 = 4\] We berekenen het verschil \(v\) tussen de eerste en tweede term: \[v = u_1 - u_0 = 9 - 4 = 5 \] We willen de 15de term weten, dus we berekenen \(u_{14}\). \[ u_{14} = 4 + 5 \cdot 14 = 74 \]
We berekenen het verschil: \[v = 47-41=6 \] Zowel 41 als 47 zijn niet deelbaar door 6, maar 42 en 48 wel. Dus we weten dat dit ongeveel de 7de of 8ste term is. De startwaarde is dan 6-1=5. \[5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, ... \]
Eerst willen we \( v \) weten \[ v = 55-49 = 6 \] Met deze gegevens kunnen we de 12de term berekenen: \[ u_{11} = 31 + 12 \cdot 6 = 103 \]