Getallenrijen
1. Rekenkundige Rijen
Wanneer oplopende of afnemende waarin in een reeks worden weergegeven wordt er gesproken over een getallenrij. In deze reeksen kan onderscheid worden gemaakt tussen reeksen die los van elkaar staan, of een gehele reeks dat bij elkaar wordt opgeteld zoals te zien is bij een somrij. In dit hoofdstuk zullen we beginnen met wat deze rijen nou eigenlijk zijn. We beginnen met het onderheid maken tussen de verschillende soorten getallenrijen, zoals rekenkundige en meetkundige rijen. Vervolgens zal verder worden ingegaan op somrijen en hoe deze vereenvoudigd kunnen worden weergegeven.
Voor we beginnen is het eerst goed om even wat algemene termen te behandelen. De getallen in een reeks noemen we ook wel de termen.
Neem bijvoorbeeld onderstaande rij:
\[ a_1 , a_2 , a_3 , a_4 ... \]
De getallen \(a_1\) tot \(a_4\) zijn hier dan de termen. De stippellijntjes aan het einde van de reeks geeft aan dat de reeks verder doorloopt. Het is niet duidelijk wanneer deze rij eindigt en kan dus oneindig lang doorgaan. In dit geval spreken we dan over een oneindige rij. Echter, oneindige rijen zullen in aankomende secties nog niet worden besproken,
Wanneer een vaste waarde er steeds bij op wordt geteld dan spreekt met over een rekenkundige rij. Kijk maar eens naar onderstaande voorbeelden:
\[ 1, 2, 3, 4 ... \]
\[ 1, 5, 9, 13, 17 ... \]
\[ 2, 13, 24, 35, 46 \]
Het valt op dat er een constante waarde bij op wordt geteld. Deze constante waarde kan worden berekend door het verschil te berekenen tussen de term en de eerst opvolgende term. Daarom wordt deze constante waarde ook het verschil genoemd. Tot slot, wordt de rij ook wel een reeks genoemd.
1.1 Directe toename
Wanneer de eerste term, of startwaarde, en het verschil bekend zijn, dan ligt de rij vast en kun je elke waarde van de rij berekenen met de formule: \[u_n = u_0 + vn\] Waarin \(v\) het verschil is en \(n\) het aantal keer maal dat dit verschil erbij wordt opgeteld. De term van de rij dat we willen berekenen wordt aangeduid met \(u_n\) en de startwaarde met \(u_0\). Let hierbij goed op dat omdat de startwaarde \(u_0\) is het tellen al begint bij 0 en niet bij 1. Dus als we bijvoorbeeld de achtste term willen berekenen dan berekenen we \(u_7\), en niet \(u_8\).
Bovenstaande formule wordt de directe toename genoemd. Zoals eerder vermeld wordt de directe toename gebruikt wanneer de startwaarde bekend is en de constante waarde. Het is echter niet altijd het geval dat deze waarden bekend zijn, soms worden een paar waarden van de reeks genoemd. In dat geval kan de recursieve toename worden gebruikt.
Voorbeeld 1: Directe formule opstellen
Gegeven is de volgende rekenkundige reeks:
\[ 3,8,13,18,23 \]
Stel de directe formule op die bij deze reeks hoort.
Voor een directe formule willen we de vergelijking oplossen,
\[ u_{n} = u_{0} + vn \]
We zien dat de reeks begin met 3, dus de startterm \(u_{0}=3 \). We zien dat de reeks steeds toeneemt met een factor van vijf.
\[8-3=5, 13-8=5, ..., v=5\]
Met deze gegevens kunnen we de vergelijking opstellen voor de directe formule
\[ u_{n} = 3 + 5n \]
1.2. Recursieve formules
Een recursieve formule is een formule dat een terugkerend patroon omschrijft. In tegenstelling tot een directe formule die we eerder zagen kan deze formule overal in een reeks worden gebruikt. De voorwaarden zijn alleen wel dat de term \(u_r\) en de voorgaande term \(u_{r-1}\) bekend zijn. Het verschil \(v\) kan van hieruit worden berekend. Wanneer we al deze parameters samennemen kunnen we de vergelijking opstellen \[ u_r = u_{r-1} + v \] Let op, we gebruiken hier de letter \(r\) in plaats van \(n\), want we nemen een willekeurige (random) term uit een rij.
Het valt hier op dat er geen startwaarde bekend is, dus hier valt ook niet uit af te leiden wat de omvang is van een reeks. Wanneer een recursieve formule wordt gebruikt is het wel van belang om de startwaarde te berekenen. Het is anders niet te achterhalen welke term in een rij hoort bij \(r\).
Samenvattend
| beginterm = \(u_0\) | beginterm = \(u_1\) | ||
| direct | \[u_n = u_0 + vn\] | \[u_n = u_1 + v(n-1)\] | heeft andere indexering |
| recursief | \[u_n = u_{n-1} + v\] | \[u_n = u_{n-1} + v\] | blijft gelijk |
Test je kennis
De startterm \(u_0 = 1\). Het verschil \(v\) is: \[u_1 - u_0 = 3-1=2 \] Met de directe formule berekenen we dan: \[ u_8 = 1 + 2 \cdot 8 = 17\] Let op, we beginnen met tellen bij \(u_0\), dus de negende term is dan \(u_8\).
We gebruiken de directe toename. \[u_0 = 4\] We berekenen het verschil \(v\) tussen de eerste en tweede term: \[v = u_1 - u_0 = 9 - 4 = 5 \] We willen de 15de term weten, dus we berekenen \(u_{14}\). \[ u_{14} = 4 + 5 \cdot 14 = 74 \]
We berekenen het verschil: \[v = 47-41=6 \] Zowel 41 als 47 zijn niet deelbaar door 6, maar 42 en 48 wel. Dus we weten dat dit ongeveel de 7de of 8ste term is. De startwaarde is dan 6-1=5. \[5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, ... \]
Eerst willen we \( v \) weten \[ v = 55-49 = 6 \] Met deze gegevens kunnen we de 12de term berekenen: \[ u_{11} = 31 + 12 \cdot 6 = 103 \]
2. Meetkundige rijen
Een meetkundig rij met \(n\) aantal termen is een reeks waarin de termen exponentieel toenemen met de vermenigvuldigingsfactor \( x \). Deze is weergeven als
\[a, ax, ax^{2}, ax^{3}, ..., ax^n \]
Waarin \(a\) een constante waarde is.
De termen in meetkundige rijen zijn te herkennen door de termen te delen door de voorgaande termen.
\[ \frac{ax^3}{ax^2} = \frac{ax^2}{ax} = \frac{ax}{a} = x \]
Zoals is te zien, valt de constante waarde \(a\) weg.
Andersom kan het ook, Als we de term delen door de eerst opvolgende term, dan krijgen we een ratio (verhouding) \( 1/x \).
De constante waarde \( a \) kunnen we achterhalen door een term te kiezen en deze te blijven delen door \( x \) tot het niet meer verder kan.
2.1. Directe toename
Bij een meetkundige rij is er een toemane met een ratio waarin de startwaarde \(a_0\) wordt vermenigvuldigd met de term \( x \) tot de macht \(n\). \[ u_n = u_0 \cdot x^n \] Vaak wordt het aantal \( n \) geschreven als \( r \) als de positie niet bekend is. Dit wordt vaak in algemenere formules gebruikt. Dit zullen we bijvoorbeeld zien in recursieve formules.
2.1. Meetkundige rijen-2
Let op dat de startterm \(u_0\) niet gelijk is aan \(a\), want \(a\) is een constante waarde waarmee de vermenigingsfactor \(x\) wordt vermenigvuldigd, maar dit hoeft niet beslist de beginterm te zijn van een serie.
2.2. Recursieve formules
Zoals eerder besproken wordt de letter \( r \) gebruikt voor een willekeurige term in een reeks. De recursieve formule kan worden gebruikt wanneer de startterm bekend is en twee opeenvolgende waarden. Als we een willekeurige term \( u_r \) noemen en de voorgaande term \( u_{r-1} \), dan kunnen we de recursieve formule opstellen: \[ u_{r} = u_{r-1} x \] Een alternatieve weergave van bovenstaande formule is: \[ u_{r+1} = x u_r \] Waarin \( u_{r+1} \) de opvolgende term is van \( u_r \) is in een reeks.
Met deze vergelijking kunnen we voor het overzicht de tabel opstellen:
| beginterm = \(u_0\) | beginterm = \(u_1\) | ||
| direct | \[u_n = u_0 \cdot r^n\] | \[u_n = u_1 \cdot r^{n-1}\] | heeft andere indexering |
| recursief | \[u_n =r u_{n-1}\] | \[r u_n = u_{n-1}\] | blijft gelijk |
Test je kennis
Een meetkundige rij is een reeks waarin de termen toenemen met een vermenigvuldigingsfactor.
We zien dat de rij toeneemt met de vermenigvuldigingsfactor \(x=2\). We zien een startwaarde \(a = 1\) of \( u_0 = 1 \). De directe formule is dan: \[ u_n = u_0 \cdot n^2\]
Met \(u_0 = 2\) wordt de formule opgesteld: \[ u_n = 2 \cdot 3^r \] Dit geeft dan de rij: \[ 2, 6, 18, 54, 162 \]
Begin met het berekenen van \( x \): \[ x = \frac{256}{128} = 2 \] Met \( a = 16 \) berekenen we de tweede term: \[ u_1 = a \cdot x = 16 \cdot 2 = 32\]
3. Somrijen
In de vorige secties is gekeken naar voorbeelden van twee verschillende soorten reeksen, de rekenkundige en meetkundige rij. Maar wat nou als we al deze termen bij elkaar op moesten tellen? Dan krijgen we een somrij.
Stel, er zou je worden gevraagd om de som van alle getallen tussen de 1 en de 100 te berekenen. Dit klinkt al als een hele opgave, vooral wanneer alles handmatig bij elkaar zou worden opgeteld. Een snellere manier is natuurlijk een computer gebruiken om de som op te lossen, maar het kan ook handmatig vrij snel door de som anders te benaderen. Deze methode is oorspronkelijk ontwikkeld door de bekende wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss toen hij als scholier aan het werk werd gezet tijdens de rekenles. Hij moest dus ook de som van 1 tot en met 100 bij elkaar optellen. Maar tot de grote verbazing van de docent was Gauss na aantal seconden al klaar(!) [1] Hoe kon hij dit toch zo snel berekenen?
3.1. Notatie van somrijen
Voordat we onthullen hoe Gauss toch zo snel deze somrij kon berekenen kijken we eerst naar de algemene notatie van somrijen. Voor deze notatie wordt de Griekse hoofdletter Sigma \( \Sigma \) gebruikt. Als we dus kijken naar de somrij die Gauss zou moeten oplossen: \[ 1+ 2+3+4+5+6+...+99+100\] Dan kan dit worden weergeven als \[ \sum_{i=1}^{100}{i} \] Waarin de \(i\) staat voor index en geeft aan waar de rij begint. De \(100\) boven het sigma teken geeft de bovengrens aan. In dit geval zijn de waarden die worden opgeteld gelijk aan \(i\). Dit is niet altijd het geval.
De algemene formulering van een somrij wordt vaak eerder weergeven als: \[ \sum_{i=0}^{n}{x_i} \] Waarin wederom \(i\) de indexering, dus geeft de positie van de startterm aan. De bovengrens, of het aantal termen wordt aangegeven door \( n \) en de termen worden aangegeven met \(x\). De subscript naast de \(x\) geeft aan dat dit de startterm is.
Voorbeeld 1: Schrijf de reeks met de sigmanotatie
We hebben de somrij met negen termen \( S_8 \)
\[S_8 = 2+5+11+20+32+47+65+86+110\]
Bereken het verschillen tussen de waarden
\[5-2=3, 11-5=6, 20-11=9...\]
Het valt op dat de term toeneemt met een factor van 3.
\[ 2, 2+3, 2+3+3, 2+3+3+3 \]
Als we deze toename even \(r\) noemen om verwarring met het aantal termen \(n\) te voorkomen, dan hebben we de eerste tussenstap.
\[ \sum{2+3r} \]
Waarin de startterm \( u_0 = 2 \) en \(r\) dus een willekeurige positie in de reeks.
De indexering begint bij 0, want \( u_0 = 2+3 \cdot 0 = 2\).
De somrij bevat negen termen, dus \(n=8\) en met deze gegevens kan de sigma notatie compleet worden gemaakt.
\[ \sum_{r=0}^{n=8}{2+3r} \]
Voorbeeld 2: Schrijf een reeks bij de volgende sigmanotatie
Bereken de uitkomst van de volgende som: \[ \sum_{r=0}^{n=6}{5 \cdot 2^r} \] We stellen een reeks op en werken deze uit: \[ S_6 = 5 \cdot 2^0 + 5 \cdot 2^1 + 5 \cdot 2^2 + ... + 5 \cdot 2^6 \] \[ S_6 = 5+10+20+40+80+160+320 \] \[ S_6 = 635 \]
3.2. Formules voor somrijen
Met de kennis van notaties over somrijen keren we eerst weer even terug naar de anekdote waar we mee begonnen zijn. Gauss realiseerde namelijk het volgende, als je alle getallen van een tot en met honderd onder elkaar schrijft in omgekeerde volgorde, en je telt deze letters allemaal bij elkaar op, krijg je telkens hetzelfde getal.
| 1 | + | 2 | + | 3 | + | ... | + | 98 | + | 99 | + | 100 |
| 100 | + | 99 | + | 98 | + | ... | + | 3 | + | 2 | + | 1 |
| 101 | + | 101 | + | 101 | + | ... | + | 101 | + | 101 | + | 101 |
Dus we hebben 100 termen dat nu niet oploopt van 1 tot 100, maar nu allemaal gelijk is aan 101, dus we hebben dan \(100 \cdot 101 = 10100\), maar dit het dubbele van de gewenste som. Dus als we dit geheel delen door twee, dan krijgen we de som van de getallen van 1 tot 100. \[\frac{100 \cdot 101}{2}=\frac{10100}{2}=5050\] Laten we dit generaliseren. We hadden in de noemer het aantal termen (100) en het aantal termen plus 1, dus als we het aantal termen aanduiden met \(n\), dan wordt de formule: \[\frac{n(n+1)}{2}\] Deze truc is toe te passen in alle rijen waarvan het aantal termen gelijk is aan de toename. Maar als we een rekenkundige rij zouden hebben dat grotere stappen heeft, dan verandert de formule. Om dit te illustreren gebruiken we een rekenkundige rij met een toename van drie. \[3,6,9,12,...,21,24,37,30\] Nu zien we dat het aantal termen (10) niet gelijk is aan de hoogste waarde. Om het aantal termen te bepalen in een reeks delen we het hoogste getal door de toename. Deze toename wordt ook wel aangeduidt als \(v\). Dus het aantal termen is dan \[n=\frac{u_{n}}{v}\] In dit geval kan \(n+1\) niet worden gebruikt, maar het idee blijft wel hetzelfde. De eerste en laatste waarde van de reeks worden bij elkaar opgeteld. Om verwarring te voorkomen, laten we dit aanduiden met de letter \(u_{(n+1)}\): \[u_{n+1} = u_{n} + u_{0}\] De formule wordt dan \[\frac{n \cdot u_{(n+1)}}{2}\]
Daarnaast zagen we in het voorbeeld hoe Gauss deze hele reeks vereenvoudigde door het als een formule te schrijven. Deze formules geven echter niet altijd een exact antwoord, maar geven een schatting. Het schatten van grote rijen kan erg handig zijn wanneer de reeksen enorm groot zijn en de uitkomst niet heel exactie hoeft te zijn.
Voor de som van een meetkundige rij geldt: \[ S_n = a+ax+ax^{2}+...+ax^{n-1} \] Als we de rij vermenigvuldigen met \(x\): \[ x S_n = x(a+ax+ax^{2}+...+ax^{n-1}) = ax+ax^{2}+ax^{3}+...+ax^{n} \] En vervolgens het verschil berekenen tussen \(xS_n\) en \(S_n\): \[ S_n - xS_n = a+ax+ax^{2}+...+ax^{n-1}-(ax+ax^{2}+ax^{3}+...+ax^{n}) = a - ax^n \] En we brengen alle termen buiten haakjes: \[ S_n - xS_n = S_n(1-x) \] \[ a - ax^n = a(1-x^n) \] En dus, \[ S_n(1-x) = a(1-x^n) \] We delen door beide kanten door \( (1-x) \): \[ S_n =a \frac{1-x^n}{1-x} \] We kunnen dus een schatting maken van een somrij van een meetkundige rij met bovenstaande formule.
Test je kennis
a. alle even getallen tussen de 1 en 100.
alle even getallen tussen de 1 en 100.
Alle even getallen zijn getallen die deelbaar zijn door twee. Even en oneven getallen wisselen elkaar af.
\[2+4+6+8+10+12+14+...+90+92+94+96+98\]
We hebben \(98/2=49\) termen \(n=49\) en \(u_{(n+1)} = 98+2=100\), dus de vergelijking wordt dan
\[\frac{49 \cdot 100}{2} = 2450\]
alle getallen tussen van 1 tot en met 1000.
We hebben alle getallen, dus we gebruiken dezelfde formule van Gauss. We hebben 1000 termen en \(1+1000=1001\). Dus hier zien we dat de formule direct kan worden toegepast.
\[\frac{1000 \cdot 1001}{2}=500500\]
alle gehele getallen tussen de 1 en 200 die deelbaar zijn door 7. We hebben \(196/7=28\) termen, en \(196+7=203\). \[\frac{28 \cdot 203}{2}=2842\]
\[ \sum_{j=0}^{n=6}{x_j \cdot 5} \] geeft de serie: \[ S_6 = 0+5+10+15+20+25+30=105 \]
We herkennen dat dit een meetkundige rij is met de vermenigvuldigingsfactor \( x=39/13=3 \). De startwaarde is 13 en de serie bestaat uit 8 termen. Dit geeft de formule: \[ \sum_{r=0}^{n=7}{13 \cdot 3^r}\]
a. Bereken de recursieve formule die hoort bij deze reeks.
We zien dat het aantal driehoeken steeds met 8 toeneemt, dus de formule is dan: \[ u_n = u_{n-1}+8 \]
We zien dat er steeds 8 driehoeken bij komen per laag. Gezien we beginnen bij u_1 gebruiken we niet \( n \), maar \( n-1 \): \[ u_n=u_1+8(n-1) \]
We gebruiken de directe formule om steeds de volgende term op te tellen. We hebben \( u_1=3 \), dus deze voeren we in met de sigmanotatie: \[ \sum_{k=1}^{n=5}{8(k-1)+3}= \sum_{k=1}^{n=5}{8k-8+3}=-5n+ \sum_{k=1}^{n=5}{8k} \] \[ -5⋅5+8+16+24+32+40=95 \]
\[ 95 \cdot 3 cm = 285 cm \]
Wat we nodig hebben (volgorde maakt niet uit): - Formule voor de piramide - Aantal lagen (n) Opstellen van de formule Begin met het opstellen van de formule. Doe dit door steeds te kijken hoeveel blokjes erbij komen per laag. Het valt op dat er steeds twee blokjes bij komen per laag. Eerste laag: 1 Tweede laag: 3 (1+2) Derde laag: 5 (3+2) Omdat we beginnen met tellen vanaf laag één wordt de formule \( u_n=u_1+2\left(n-1\right) \) met \( u_1=1 \). Vervolgens gebruiken we deze formule om een somrij op te stellen. Omdat de waarde van \( u_1 \) al bekend is kan deze meteen worden ingevuld. Dit geeft de formule \[ \sum_{k=1}^{n}{1+2\left(k-1\right)} \] Berekenen van het aantal lagen Voor een 1000 mm hoge piramide zijn 1000/10=100 lagen nodig, dus \( n=100 \). Bereken het aantal blokjes We hebben 100 lagen. Met de grafische rekenmachine kan dan worden berekend dat Jan 10 000 blokjes nodig heeft.