Getallenrijen
2. Meetkundige rijen
Een meetkundig rij met \(n\) aantal termen is een reeks waarin de termen exponentieel toenemen met de vermenigvuldigingsfactor \( x \). Deze is weergeven als
\[a, ax, ax^{2}, ax^{3}, ..., ax^n \]
Waarin \(a\) een constante waarde is.
De termen in meetkundige rijen zijn te herkennen door de termen te delen door de voorgaande termen.
\[ \frac{ax^3}{ax^2} = \frac{ax^2}{ax} = \frac{ax}{a} = x \]
Zoals is te zien, valt de constante waarde \(a\) weg.
Andersom kan het ook, Als we de term delen door de eerst opvolgende term, dan krijgen we een ratio (verhouding) \( 1/x \).
De constante waarde \( a \) kunnen we achterhalen door een term te kiezen en deze te blijven delen door \( x \) tot het niet meer verder kan.
2.1. Directe toename
Bij een meetkundige rij is er een toemane met een ratio waarin de startwaarde \(a_0\) wordt vermenigvuldigd met de term \( x \) tot de macht \(n\). \[ u_n = u_0 \cdot x^n \] Vaak wordt het aantal \( n \) geschreven als \( r \) als de positie niet bekend is. Dit wordt vaak in algemenere formules gebruikt. Dit zullen we bijvoorbeeld zien in recursieve formules.
2.1. Meetkundige rijen-2
Let op dat de startterm \(u_0\) niet gelijk is aan \(a\), want \(a\) is een constante waarde waarmee de vermenigingsfactor \(x\) wordt vermenigvuldigd, maar dit hoeft niet beslist de beginterm te zijn van een serie.
2.2. Recursieve formules
Zoals eerder besproken wordt de letter \( r \) gebruikt voor een willekeurige term in een reeks. De recursieve formule kan worden gebruikt wanneer de startterm bekend is en twee opeenvolgende waarden. Als we een willekeurige term \( u_r \) noemen en de voorgaande term \( u_{r-1} \), dan kunnen we de recursieve formule opstellen: \[ u_{r} = u_{r-1} x \] Een alternatieve weergave van bovenstaande formule is: \[ u_{r+1} = x u_r \] Waarin \( u_{r+1} \) de opvolgende term is van \( u_r \) is in een reeks.
Met deze vergelijking kunnen we voor het overzicht de tabel opstellen:
| beginterm = \(u_0\) | beginterm = \(u_1\) | ||
| direct | \[u_n = u_0 \cdot r^n\] | \[u_n = u_1 \cdot r^{n-1}\] | heeft andere indexering |
| recursief | \[u_n =r u_{n-1}\] | \[r u_n = u_{n-1}\] | blijft gelijk |
Test je kennis
Een meetkundige rij is een reeks waarin de termen toenemen met een vermenigvuldigingsfactor.
We zien dat de rij toeneemt met de vermenigvuldigingsfactor \(x=2\). We zien een startwaarde \(a = 1\) of \( u_0 = 1 \). De directe formule is dan: \[ u_n = u_0 \cdot n^2\]
Met \(u_0 = 2\) wordt de formule opgesteld: \[ u_n = 2 \cdot 3^r \] Dit geeft dan de rij: \[ 2, 6, 18, 54, 162 \]
Begin met het berekenen van \( x \): \[ x = \frac{256}{128} = 2 \] Met \( a = 16 \) berekenen we de tweede term: \[ u_1 = a \cdot x = 16 \cdot 2 = 32\]