Herleiden
Herleiden van formules
- In het kort:
- Je kan formules herschrijven wanneer er een definitie van die waarde is.
Als y=x+b & b=2x→y=3x (zie voorbeeld 1) - Wanneer de definitie van de waarde niet direct is gegeven, zoek een gemeenschappelijke factor en maak deze vrij. (zie voorbeeld 2 en 3)
Voorbeeld 1 - Meest eenvoudige scenario
We hebben de formule
\[X=3a+5b\]
Waarbij \(a=\frac{1}{3}b\)
Druk \(X\) uit als een functie van alleen \(b\).
Uitwerking: We weten dat \(a=\frac{1}{3} b\), dus we vervangen de waarde van \(a\) in de vergelijking van \(X\):
\[X=3a+5b=3\frac{1}{3}b)+5b\]
En omdat \(3⋅\frac{1}{3}\ b=\frac{3}{3}\ b=b\), kunnen we de vergelijking oplossen.
\[X=b+5b=6b\]
Het vervangen van variabelen in een formule heet substitueren.
Voorbeeld 2 - Substitueren van formules
Neem de functie: \[f(x)=3H+0,6c\] Gegeven is: \[a=5H\] Druk \(f(x)\) uit als een functie van \(a\). In dit voorbeeld is de waarde van \(a\) niet meteen gegeven, deze komt niet voor in de vergelijking van \(f\). In zulke gevallen moeten een gemeenschappelijke factor zoeken. In dit geval is dat \(H\), deze komt zowel in vergelijking \(f\) als \(a\). Maar we moeten deze gemeenschappelijk factor (\(H\)) eerst even vrijmaken. Als we de vergelijking van \(a\) nemen, dan kunnen we \(H\) vrijmaken \[a=5H \xrightarrow{:5} H=\frac{1}{5}a\] Vervolgens vervangen we deze waarde van \(H\) in de vergelijking van \(f\): \[f\left(x\right)=3H+0,6c=3\left(\frac{1}{5}a\right)+0,6c\] Let wel op dat wanneer je een waarde vervangt in een formule dat je deze eerst tussen haakjes doet. We zien nu dat de haakjes nergens voor nodig zijn, dus deze kunnen in dit geval worden genegeerd en kan de functie worden geschreven als: \[f\left(x\right)=\frac{3}{5}a+0,6c=0,6a+0,6c\] \[f\left(x\right)=0,6\left(a+c\right)\]
Examen: Voorbeeld 3 - Havo 2021-1
... De wachttijd voor een attractie kan berekend worden met de formule:
\[W=\frac{r\cdot S}{2(1-r)}\]
Hierin is W de gemiddelde wachttijd van een willekeurige bezoeker in minuten en r de bezettingsgraad van de attractie (\(0 < r < 1\)).
…
In de zomer van 2013 introduceerde Walibi Belgium een zogenoemde voorsteekpas. Met deze pas kan een bezoeker voorrang krijgen bij de
attracties. Daardoor zal de wachttijd voor een bezoeker zonder deze pas langer worden.
Er zijn nu twee formules voor de wachttijd voor een attractie, namelijk een
formule voor de gemiddelde wachttijd \(W_p\) in minuten van een bezoeker
met de voorsteekpas en een formule voor de gemiddelde wachttijd \(W_z\) in
minuten van een bezoeker zonder voorsteekpas:
\[W_p=\frac{r\cdot S}{2\left(1-a\cdot r\right)}\ en W_z=\frac{r\cdot S}{2\left(1-r\right)\left(1-a\cdot r\right)}\]
Hierin is a het gedeelte van de bezoekers met een voorsteekpas
(\(0 < a < 1\)).
... Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze
attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus \(r=0,95\)) en een
bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus \(S=6\)).
...
Voor de Cobra kan de formule van de wachttijd voor bezoekers zonder
voorsteekpas worden herleid tot:
\[W_z=\frac{5,7}{0,10-...\ \cdot a}\]
Geef deze herleiding. Rond het getal dat op de puntjes moet staan niet af.
Uitwerking
We zien dat:
\[r=0,95\]
\[S=6\]
Deze waarden substitueren we in de vergelijking van \(W_z\):
\[W_z=\frac{{\color{red}r}\cdot {\color{blue}S}}{2\left(1-r\right)\left(1-a\cdot r\right)}\]\[=\frac{{\color{red}0,95}\cdot{\color{blue}6}}{2\left(1-0,95\right)\left(1-a\cdot0,95\right)}\]
\[0,95\cdot6=5,7,\ \ 2\left(1-0,95\right)=2\cdot0,05=0,010\]
\[W_z=\frac{5,7}{0,10\left(1-a\cdot0,95\right)}=\frac{5,7}{0,10-0,095a}\]