Kwadratische vergelijkingen
Oplossen van vergelijkingen
Let op: De theorie ontbreekt grotendeels, maar er zijn wel oefenopgaven. Scroll naar beneden voor de opgaven.
Er zijn verschillende manieren om een kwadratische vergelijking op te lossen. \[ax^2+bx+c=0 \tag{1} \label{1} \] Waar \(a,b,c\) constante waarden zijn. De kwadratische vergelijking moet dus eerst gelijk worden geschreven aan nul. Dan kan een van de twee methodes worden behandeld namelijk het ontbinden van factoren of door gebruik te maken van de ABC-formule.
Methode 1: Product-som methode In de product som methode wordt vergelijking 1 opgesplitst in twee factoren. Ga bij onderstaande vergelijkingen steeds uit van \(c=ab\). Wanneer \(a=b\) \[ \left(x+a\right)^2 =x^2+2ax+a^2,\qquad x=−a \] \[ \left(x-a\right)^2 =x^2-2ax+a^2,\qquad x=a \] \[ \left(x+a\right) \left(x-a\right) =x^2−a^2, \qquad x=a \] Wanneer \(a≠b\) zijn twee uitkomsten mogelijk: \[ \left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+\left(a+b\right)x+ab \] \[\Rightarrow x=-a \lor x=-b\] \[ \left(x-a\right)\left(x-b\right)=x^2-\left(a+b\right)x+ab \] \[\Rightarrow x=a \lor x=b\] \[ \left(x+a\right)\left(x-b\right)=x^2+\left(a-b\right)x-ab \] \[\Rightarrow x=-a \lor x=b\] \[ \left(\frac{1}{c}x+a\right)\left(cx+b\right)=x^2+x\sqrt{ab}+ab \] \[\Rightarrow x=-ac \lor x=\frac{b}{c}\]
Voorbeeld 1. Oplossen van vergelijking
Los x op uit de vergelijking: \[ x^2+5x=-6 \]
Oplossing: Breng eerst alle termen naar het linkerlid door zes aan beide kanten op te tellen. \[ x^2+5x+6=0 \] Uit de vergelijking kan het volgende worden opgemerkt: \[ 6=2\cdot3,\ \ 5=2+3 \] Het factoriseren geeft dan het product: \[ \left(x+2\right)\left(x+3\right)=0 \] Aan deze voorwaarde wordt voldaan wanneer: \[ x=-2,\qquad \left(-2+2\right)\left(-2+3\right)=0\cdot1=0 \] \[ x=-3,\qquad \left(-3+2\right)\left(-3+3\right)=-1\cdot0=0 \] Omdat er dus twee mogelijkheden zijn wordt het antwoord dan \(x=-2\) of \(x=-3\), dat kan worden geschreven als: \[x=-2 \vee x=-3 \]
Methode 2: Gebruik de ABC-formule. De abc-formule is lastiger te onthouden maar is wel een vergelijking dat vrijwel altijd werkt. Dit kan veel tijd besparen, omdat in dit geval niet overal hoeft te worden gezocht naar gemeenschappelijke factoren. De vergelijking voor de ABC-formule is: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\ \tag{2} \label{2} \] Waarbij \(D\) de discriminant is met vergelijking. \[ D=b^2-4ac \tag{3} \label{3} \] Waarmee vergelijking 2 kan worden herschreven. \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{2+3}\] De \(±\) geeft aan dat zowel de \(+\) als \(–\) moeten worden berekend. Dus er zijn twee mogelijke uitkomsten voor \(x\).
Voorbeeld 2. dezelfde vergelijking, andere uitwerking
Met dezelfde vergelijking uit voorbeeld 1, los x op. Ter herhaling, \[ x^2+5x=-6 \]
Oplossing: De eerste stap is gelijk. Breng alle termen naar het linkerlid. In dit geval is er maar een term in het rechterlid, dus dit kan direct worden gedaan door 6 aan beide kanten op te tellen. \[ x^2+5x+6=0 \] Nu is de vergelijking in dezelfde vorm als vergelijking \ref{1}. Voor de ABC-formule zijn de variabelen \(a\),\(b\) en \(c\) nodig. In bovenstaande vergelijking kan worden opgesteld dat: \[ a=1,\ b=5,\ c=6 \] Met deze gegevens kan de discriminant (\ref{3}) worden berekend: \[ D=5^2-4\cdot 1\ \cdot 6=1 \] De abc-formule \ref{2} kan dan verder worden ingevuld: \[x=\frac{-5\pm\sqrt1}{2\cdot1}\] Met als uitwerking \[ x=\frac{-5-1}{2}=-3 \] \[ x=\frac{-5+1}{2}=-2 \] Net als bij voorbeeld 1 te zien was zijn er twee mogelijkheden. Het antwoord wordt dan geschreven als: \[x=-2 \vee x=-3 \]
Voorbeeld 3. Oplossen van ongelijkheden
Gegeven zijn de twee vergelijkingen. \[N_1=2x^2+4x+8\] \[N_2=-x^2+13\] Bereken de grenswaarden van x waarbij \(N_2>N_1\).
Methode 1: algebraïsche uitwerking
Vind de snijpunten van de functies. Het snijdpunt is het punt van de lijnen waarin \(N_1=N_2\).
- \[ 2x^2+4x+8=-x^2+13 \]
- \[ +x^{2}↓+x^{2} \]
- \[ 3x^2+4x+8=13 \]
- \[ -13↓-13 \]
- \[ 3x^2 +4x-5=0 \]
2.2. Oefenopgaven
Ontbind onderstaande termen in factoren.
| \[ x^2-8x+15 \] |
|
| \[ x^2+7x-18 \] |
|
| \[ x^2+14x-48 \] |
|
| \[ 2x^2+8x-42 \] |
|
| \[ 3x^2-x-2 \] |
|
| \[ x^2-16x+39 \] |
|
Geef de waarde van x uit de volgende vergelijking. \[ x-1 = \frac{16}{x+5} \]
|
|
- \[ x-1 = \frac{16}{x+5} \]
- \[ \cdot (x+5) ↓ \cdot (x+5) \]
- \[ (x-1)(x+5)=16 \]
- \[ -16 ↓ -16 \]
- \[ (x-1)(x+5)-16=0 \]
- Haakjes uitwerken
- \[ (x-1)(x+5)=x^{2}+4x-5 \]
- \[ x^{2}+4x-5-16=0 \]
- Met de ABC formule
- \[ a=1,\ b=4,\ c=-21 \]
- \[ x=\frac{-4 {+/-} \sqrt{16+84}}{2} \]
- \[ x=\frac{-4 {+/-} 10}{2} \]
- \[ x=-\frac{14}{2} \vee x=\frac{6}{2} \]
- \[ x=-7 \vee x=3 \]
Vind het punt waar \(D(x)>G(x)\) \[G\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-2\right)^2+10\] \[D(x)=-2x^2-12x+7\] Rond het antwoord af op drie decimalen.
Algebraïsche uitwerking: \[D\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-2\right)^2+10=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+11\frac{1}{3}\] \[G(x)=D(x)\]
- \[ \frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+11\frac{1}{3}=-2x^2-12x+7 \]
- \[ -7 ↓ -7 \]
- \[ \frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+4\frac{1}{3}=-2x^2-12x \]
- \[ +12x ↓ +12x \]
- \[ \frac{1}{3}x^2+10\frac{2}{3}x+4\frac{1}{3}=-2x^2 \]
- \[ +2x^2 ↓ +2x^2 \]
- \[ 2\frac{1}{3}x^2+10\frac{2}{3}x+4\frac{1}{3}=0 \]
- \[ \cdot 3 ↓ \cdot 3 \]
- \[ 7x^2 +32x+13=0 \]
- Met de ABC formule
- \[ a=7,\ b=32,\ c=13 \]
- \[ D={32}^2 -4\cdot 7\cdot 13=660 \]
- \[ x=\frac{-32\pm\sqrt{660}}{14} \]
- \[ x=\frac{-16\pm\sqrt{165}}{7} \]
- \[ x=-4,121 ∨ x=-0,451 \]