Lijnen en hoeken

Voor het meten van hoeken in een bepaalde ruimte is het goed om te begrijpen hoe coordinaten werken. Neem een willekeurige hoek en neem dit als startpunt voor een assenstelsel. Lijn de horizontale als uit met een lijn. Voor het meten van de hoek van alle hoeken in een driehoek of vierhoek kan de som hoeksom driehoek. Deze stelling luidt dat de som van alle hoeken gelijk is aan 180° voor een driehoek en 360° voor een vierhoek.

Een van de onderdelen van de vlakke meetkunde is het meten van hoeken. Het meten van hoeken kan verschillende doelen hebben. Een praktische functie is bijvoorbeeld het meten van de vorm van objecten met hoeken. Als je je huis wilt inrichten met meubels dan wil je natuurlijk wel dat alles mooi past. Als de kast vijf hoeken heeft en je slaapkamer maar vier, dan kan het wel zo zijn dat de kast niet mooi in een hoekje past.

Naast het meten van vormen speelt het ook belangrijke functie in het meten van coordinaten. Als je met een auto door een scherpe bocht wilt, kan dat dan wel? Dat hangt natuurlijk af van hoe scherp de bocht is en de positie van de auto.

Wanneer een object een rondje om zijn as maakt. Denk hierbij aan een klok. Wanneer de wijzer naar de twaalf wijst, en daarna door draait tot die weer bij de twaalf uit komt.

We hebben een driehoek \(ΔABC\). Die driehoek wordt gescheiden door lijn \(PQ\) die evenwijdig is aan de lijn \(BC\). Daarnaast wordt hoek \(∠A\) verdeeld door een bissectrice. Twee van de onderste hoeken zijn bekend, hoek \(∠B=53°\) en \(∠T_2=79°\).

a. Bereken de hoeken van het snijpunt van de lijnen die door de driehoek lopen.

Met de gegevens:
Lijn \(PQ\) en \(BC\) zijn evenwijdig, dus dit betekent dat de hoeken van de intersectie gelijk zijn aan \(∠T\). \(∠T\) (en intersectie), \(∠P\) en \(∠Q\) vormen een stompe hoek, en dus: \[∠T=∠Q=∠P=180°\]

Daarnaast weten we dat overstaande hoeken gelijk zijn wanneer twee rechte lijnen elkaar kruizen. Dus in dit geval kunnen we met alleen \(∠T\) alle hoeken van de intersectie berekenen. \[∠intersectie_4=∠intersectie_2=∠T=∠T_1+79°=180°\] \[∠intersectie_1=∠intersectie_3=∠T_1=180°-79°=101°\]

Bereken \(∠C\).

Met de hoeken van de intersectie kunnen we ook berekenen wat de buitenste hoeken zijn. \[∠A_1=180°-(53+101)°=26°\] \[∠A_2=∠A_1=26° (bissectrice)\] \[∠A=∠A_2+∠A_1=52°\] Dan met de hoekensom driehoek berekenen we hoek \(∠C\): \[∠C=180°-(53+52)°=75°\] Met deze gegevens zijn alle hoeken te berekenen.