Verbanden
1. Lineair Verband
Een lineair verband wordt gegeven door de vergelijking \[y=ax+b\]
Let met het uitwerken van lineaire verbanden op het volgende: De richtingscoëfficiënt kan worden berekend door het verschil in \(y\)-waarden te delen door het verschil in \(x\)-waarden. \[a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\] De startwaarde kan van de grafiek worden afgelezen, of door \(x=0\) in te vullen in de vergelijking. \[y=a\cdot0+b\] Of door een bekende waarde van \(x\)-, en \(y\)-coördinaten in te vullen in de vergelijking en dan de vergelijking op te lossen, \[b=y-ax\] Mocht je het even kwijt zijn hoe je \(b\) berekent, dan kun je ook de intersect functie gebruiken op je grafische rekenmachine, door bij [ y= ] in te voeren: \[Y_1=ax+X\] \[Y_2=y\]
Voorbeeld 1. Oplossen vergelijking
Geef de vergelijking van \(y\) dat hoort bij de grafiek.
Als eerst herkennen we dat we een rechte lijn hebben en dus de vergelijking moet worden opgelost,
\[y=ax+b\]
Stap 1: Vind de richtingscoëfficiënt \(a\)
Pak een paar punten op de lijn die goed af te lezen zijn en bereken:
\[a=\frac{15-9}{5-2}=\frac{6}{3}=2\]
Dit geeft de geüpdatet formule:
\[y=2x+b\]
Stap 2: Vind de startwaarde
Nu is het af te lezen wat de startwaarde is, maar in dit geval gebruiken we een berekening om er echt zeker van te zijn. Neem een van de twee coördinaten die in de vorige berekening zijn gebruikt en vul deze in. In het geval de coördinaten (2,9) zijn gekozen wordt de berekening:
\[9=2\cdot 2+b=4+b\]
\[b=9-4=5\]
Dit geeft dan de uiteindelijke vergelijking:
\[y=2x+5\]
Test je kennis
Antwoord: \(y=3x+1\)
Uitwerking
De vergelijking dat moet worden opgelost:
\[y=ax+b\]
Stap 1: Bereken de helling
\[a=\frac{4-1}{1-0}=3\]
Stap 2: Bereken het startpunt
De startpunt kan direct worden afgelezen door te kijken naar het punt waar de lijn de y-as snijdt.
\[b=1\]
De vergelijking is dus:
\[y=3x+1\]
Antwoord: \(y=8a-3\)
Uitwerking
De vergelijking dat moet worden opgelost:
\[y=ax+b\]
Stap 1: Bereken de richtingscoëfficiënt
\[a=\frac{45-21}{6-3}=8\]
Stap 2: Bereken het startpunt
Met de (x,y) coördinaten (3,21) en richtingscoëfficiënt \(a=8\).
\[b=y-ax\]
\[b=21-3*8=-3\]
De vergelijking is dus:
\[y=8x+(-3)=8x-3\]
Als je kijkt naar de lijn in de grafiek. Wat kun je dan concluderen?
antwoord: \(y=0,5x-1,5\)
Uitwerking
De vergelijking dat moet worden opgelost:
\[y=ax+b\]
Stap 1: Bereken de richtingscoëfficiënt
\[a=\frac{16-6}{35-15}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\]
Stap 2: Bereken het startpunt
Met de (x,y) coördinaten (15,6) en richtingscoëfficiënt \(a=1/2\).
\[b=y-ax\]
\[b=6-\frac{1}{2}*15=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}\]
De vergelijking is dus:
\[y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\]
of als decimale getallen,
\[y=0,5x-1,5\]
2. Exponentieel Verband
In een lineair verband neemt een waarde steeds toe met een constante factor. Voor elke stap die wordt gezet wordt de constante factor erbij opgeteld. Wanneer echter wordt vermenigvuldig met een constante factor dan is er sprake van een exponentieel verband.
Exponentiële verbanden worden veelal weergegeven met de vergelijking. \[N=bg^t\] waarbij niet \(y\) maar \(N\) de afhankelijke variabele is en niet \(x\) maar \(t\) de onafhankelijke variabele. De startwaarde wordt gegeven door \(b\) en de groeifactor met \(g\).
De groeifactor kun je aangrenzende y-waarden met elkaar te delen, want, \[N_1=bg^(x_1 ),N_2=bg^(x_2 )\] \[N_2/N_1 =(bg^(x_2 ))/(bg^(x_1 ) )=g^(x_2 )/g^(x_1 ) =g^(x_2-x_1 )\] Met \(Δx=x_2-x_1\): Als \(Δx=1\) dan \(g^Δx=g^1=g\) Als \(Δx>1\): neem de wortel van \(Δx\) om de groeifactor te vinden. Dit kun je in je rekenmachine invoeren als: (y2/y1)^(1/Δx), of in formules: \[g=\left(g^{\Delta x}\right)^\frac{1}{\Delta x}=\sqrt[\Delta x]{g^{\Delta x}}\] De startwaarde \(b\) kan worden berekend door een bekende \(y\) waarde te delen door de groeifactor tot de macht de bijbehorende x-waarde, \[b=\frac{N_1}{g}=\frac{N_2}{g^2}=\frac{N_3}{g^3}=\frac{N_n}{g^n}\]