niveau:

Verzamelingen

1. Verzameling van getallen

Een verzameling bestaat uit een samenstelling van waarden genaamd elementen. Deze elementen kunnen van alles zijn. \[A=\left\{1,2,3,4,5\right\}\] \[B=\left\{a,b,c,d,e\right\}\] \[C=\{hoed,bril,sjaal,trui\}\] Wat opvalt is dat verzamelingen met een hoofdletter worden weergegeven. Alle elementen binnen een deelverzameling worden weergegeven met accolades. Verzameling A is een voorbeeld van een deelverzamelingen waar de elementen bestaan uit getallen. Of een element voorkomt in een verzameling wordt aangegeven met het symbool ∈. Zo kan worden gesteld dat;
\(2∈A\) want het getal \(2\) komt voor in deelverzameling \(A\).
\(8∉A\) want het getal \(8\) is niet terug te vinden in de deelverzameling \(A\)

Verzamelingen van getallen kunnen worden onderscheiden.

Verzameling	symbool	Definitie
natuurlijke getallen	\(\mathbb{N}\)	Alle positieve gehele getallen \(x>0\)
gehele getallen	\(\mathbb{Z}\)	Zowel positieve als negatieve gehele getallen \(x>0, x<0\)
rationale getallen	\(\mathbb{Q}\)	Alle getallen die als een breuk van gehele getallen kan worden geschreven.
Reële getallen	\(\mathbb{R}\)	Alle getallen die op een getallen lijn kunnen worden getekend. Dit is inclusief alle rationale en irrationale getallen.

Voorbeeld 1. Aantal voorbeelden

\(7\in\mathbb{N}\), want 7 is een positief geheel getal.
\(3\in\mathbb{Q}\), want 3 kan ook worden geschreven als \(\frac{3}{1}\).
\(\frac{10}{5}\in\mathbb{Z}\), want \(\frac{10}{5}=2\) en kan dus als geheel getal worden geschreven.
\(\frac{11}{2}\notin\mathbb{Z}\), want \(\frac{11}{2}=5,5\) en kan dus niet als geheel getal worden geschreven.
\(-4\notin\mathbb{N}\), want alleen positieve gehele getallen behoren tot de natuurlijke getallen.

Wanneer verzamelingen onderdeel kunnen zijn van een andere verzameling dan zijn deze een deelverzameling. Zo zijn bijvoorbeeld alle natuurlijke getallen ook gehele getallen, dus kan worden gesteld \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\). Let op het verschil in notatie: \[ \mathrm{element} \in \mathrm{verzameling}\] \[ \mathrm{deelverzameling} \subset \mathrm{verzameling}\] Dit kan verder worden doorgetrokken. De gehele getallen kunnen worden geschreven als een breuk. Gehele getallen kunnen ook worden geschreven als een breuk en dus vormen de gehele getallen een deelverzamelingen van de rationale getallen. Zowel de rationale als irrationale getallen kunnen worden uitgezet in een getallenlijn en dus zijn de rationale getallen ook een deelverzameling van de reële getallen. Zo kan dus worden gesteld dat: \[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\] De notatie wordt kan ook omgedraaid: \[\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}\] Dan wordt gezegd dat de gehele getallen een superset is van de natuurlijke getallen. Zo zijn de rationale getallen ook een superset van de gehele getallen enzovoort.

Test je kennis

1.2. Oefenopgaven

Voer steeds de juist symbolen in.

\(5\)	\(\mathbb{N}\)	\[5∈\mathbb{N}\]
\(−5\)	\(\mathbb{Q}\)	\[-5∈\mathbb{Q}\]
\(−\frac{5}{1}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(-\frac{5}{1}=-5\) en dus, \[-\frac{5}{1}∈\mathbb{Z}\]
\(\frac{3}{4}\)	\(\mathbb{Z}\)	\(\frac{3}{4}∉\mathbb{Z}\)
\(\frac{6}{5}\)	\(\mathbb{R}\)	\[\frac{6}{5}∈\mathbb{R}\]
\(-7\)	\(\mathbb{N}\)	\[-7∉\mathbb{N}\]
\(-16\)	\(\mathbb{Q}\)	\[-16∉\mathbb{Q}\]
\(\frac{8}{3}\)	\(\mathbb{Z}\)	\[\frac{8}{3}∉\mathbb{Z}\]
\(100000\)	\(\mathbb{N}\)	\[100000∈\mathbb{N}\]
\(-7\)	\(\mathbb{Q}\)	\[-7∈\mathbb{Q}\]
\(\frac{16}{4}\)	\(\mathbb{Z}\)	\[\frac{16}{4}=4∈\mathbb{Z}\]