Chemisch Rekenen
3. Rekenen met gehaltes
In de vorige sectie zijn al een aantal verhoudingen besproken zoals de dichtheid en de molariteit van de stof. Bij de dichtheid is er namelijk een verdeling van de massa van de stof over een bepaald volume. Dit kan weer worden omgerekend naar de molariteit van de stof door de dichtheid te delen door de molaire massa. \[c=\frac{n}{V} \tag{molariteit}\] \[\rho =\frac{m}{V} \tag{dichtheid}\] \[c=\frac{\rho}{M_w}\hspace{0.5cm} \text{en}\hspace{0.5cm} \rho=c\cdot M_w\]
Toch zijn er meerdere manieren om gehaltes van stoffen aan te noteren, deze zijn samengevat in tabel 1. De meest bekende is het percentage van een stof. Het woord percentage komt van het Grieks per centum dat ‘per honderd’ betekent, wat verwijst naar de schaalverdeling 1:100. Wanneer de schaal 10 maal kleiner wordt (1:1000) is het gunstig om het gehalte uit te drukken in promillage (‰) (promille, of per mille – per duizend), zo is bijvoorbeeld 1‰ = 0,1%. Promillages wordt bijvoorbeeld gebruikt in een blaastest om het alcoholgehalte te meten in uitgeademde lucht. In de chemische analyse worden echter ook kleinere schaalverdelingen gebruikt. Geavanceerde meetmethode kunnen deeltjes meten op een schaal van één op miljoen deeltjes. Met zulke kleine verhoudingen is het gunstiger om het gehalte uit te drukken in ppm, van het Engelse parts per million. Zo wordt bijvoorbeeld het gemeten CO2 in de atmosfeer uitgedrukt in ppm. In dit geval wordt de massaverdeling, dus aantal microgram (μg) CO2 per gram gas (lucht). Chemische analyses met voeding kan soms vereisen dat een nog kleinere schaal wordt gebruikt zoals het aantal per miljard, van het Engels parts per billion (ppb).
De vergelijking voor alle schaalverdelingen zijn gelijk. Voor elke berekening is de verhouding van de stoffen nodig. De verhouding kan worden uitgedrukt in massaverhouding waarin de massa van de stof wordt gebruikt of de molverhouding waarin de chemische hoeveelheid van de stof wordt gebruikt. De verhouding tussen de stoffen en het geheel wordt vergroot met een schaal \(S\). \[\text{verhouding stof}=\frac{x_{\text{stof}}}{x_{\text{totaal}}}\hspace{1cm}x=m\ \text{of}\ n\label{verhouding}\] \[\text{gehalte}=\frac{x_{\text{stof}}}{x_{\text{totaal}}}\cdot S\label{gehalte}\] Zo heeft een gehalte in ppm een schaal van een op een miljoen (1:106) en dus is \(S={10}^6\). De verhouding tussen de stoffen wordt dus een miljoen keer vergroot.
Tabel 1: Schaalverdelingen met vergrotingsfactor \(S\). De voorbeelden illustreren de massaverhouding, maar hetzelfde kan ook worden weergegeven met de chemische hoeveelheid.
| schaal | \(S\) | Voorbeeld | |
| procent (%) | 1:102 | 102 | 1mg/100mg=1% |
| promille (‰) | 1:103 | 103 | 1mg/1g=1‰ |
| ppm | 1:106 | 106 | 1μg/1g=1ppm |
| ppb | 1:109 | 109 | 1ng/1g=1ppb |
Voorbeeld 6. Lood in kraanwater
Lood is een voor de mens giftige stof. Toch is het niet uit te sluiten dat lood ons lichaam binnenkomt. Dit is via het voedsel of water. De wettelijk toegestane loodgehalte in kraanwater is maximaal 5 µg/L. [1]
Bij metingen van stoffen in water wordt het aantal ppm en ppb ook wel uitgedrukt als massa per volume water. Zo is bijvoorbeeld 1 mg/L gelijk aan 1 ppm en 1 μg/L aan 1 ppb. Dit wordt gedaan met de veronderstelling dat de dichtheid van water ongeveer 1 kg/L is. Dus dan is naar schatting 1 μg/L ≈ 1 μg/kg. Het aantal ppb dat wettelijk is toegestaan in kraanwater kan dan worden uitgedrukt als 5 ppb.
\[\rm{5\ μg/L=5\ μg/\left(1\ L\cdot 1\ kg\ L^{-1}\right)=5\ μg/kg=5\ ppb}\]
Bij gehaltes in vaste stoffen wordt de massaverhouding van een stof. Dit kan van een atoom in een molecuul of zout zijn of van een stof in een mengsel. Onderstaande vergelijking is een herhaling van de algemene vergelijking voor het bepalen van een gehalte, met \(S=100\). \[\text{massapercentage}=\frac{m_{\text{stof}}}{m_{\text{totaal}}}\cdot 100\% \label{massapercentage}\]
Voorbeeld 7. Demonstratie massapercentage
Bereken het massapercentage van calcium in CaCO3.
Uitwerking De massa van calciumcarbonaat en calcium zijn nodig. Met deze gegevens kan het massapercentage worden berekend.
\[\text{massapercentage}=\frac{m(\rm{Ca^+})}{m(\rm{CaCO_3})}\cdot 100\%=40,0\%\]
Waarin \(m\) de atoommassa van de stof weergeeft. Zo kan verder worden berekend.
\[m(\rm{CaCO_3}) = (40,08 + 3\cdot 12,01 + 3\cdot 16,00)\ \rm{u}\]
\[=92,11\ \rm{u}\]
\[\text{massapercentage}=\frac{40,08\ \rm{u}}{92,11\ \rm{u}}\cdot 100\%=40,0\%\]
Voorbeeld 8. Massapercentage in gesteente
Bauxiet (Al2O3∙3 H2O) is het meest voorkomende gesteente in de sedimentlagen van de aardkorst en is een belangrijke bron van aluminium. Bereken de massapercentage aluminium in bauxiet.
Uitwerking Het massapercentage wordt gegeven door de vergelijking:
\[\text{massapercentage}=\frac{m\left(\rm{Al}\right)}{m\left(\rm{Al}_{2}O_{3}\cdot 3\ H_2O\right)}\cdot100\%\]
Stap 1: Bereken de massa van de stoffen
Aluminium in bauxiet heeft een index 2, dus we hebben twee aluminiumatomen in bauxiet. De massa van aluminium in bauxiet is dan
\[m\left(\rm{Al}\right)=2\cdot M_w\left(\rm{Al}\right)\]
Met een atoommassa van aluminium \(M_w = 26,98\ \rm{g\ mol^{-1}}\)
3.1. Verdunningen verlagen het gehalte van een stof
Wanneer het volume van een oplossing verandert terwijl het aantal deeltjes gelijk blijft, dan wordt de oplossing verdund. Denk bijvoorbeeld aan een glas met oploslimonade. De geconcentreerde siroop wordt verdund met water om de limonade op smaak te brengen. Door het toevoegen van water wordt het spreidingsgebied van de stoffen verhoogd en zullen zich over een groter gebied verdelen waardoor het minder is geconcentreerd.
Bij verdunningen wordt gerekend met de verdunningsregel. Bij de verdunningsregels wordt vanuit gegaan dat het aantal deeltjes in beide oplossingen niet verandert, dus het aantal deeltjes blijft constant.
\[n_1=n_2\]
Als de molariteit en het volume van een oplossing bekend is kan hieruit het aantal deeltjes worden berekend. Hierdoor kan bovenstaande vergelijking worden herschreven als de verdunningsregel.\[c_{1}V_{1}=c_{2}V_{2} \label{verdunningsregel}\tag{verdunningsregel}\]
Als het volume verandert, moet de concentratie ook veranderen om aan de voorwaarde \(n_1=n_2\) te blijven voldoen.
Voorbeeld 9. Demonstratie verdunning
Een glas met 750 mL suikerwater bevat 2,50 mol/L glucose. Het glas water wordt vervolgens aangevuld met zuiver water tot 1,00 liter.
Bereken de concentratie van glucose in de verdunde oplossing.
Uitwerking Verzamel de gegevens en schrijf de constateringen op die kunnen worden getrokken. De chemische hoeveelheid van de stof verandert niet, alleen het volume.
Gezien de chemische hoeveelheid niet verandert wordt dit geschreven met alleen de letter \(n\).
\[n_{\text{onverdund}}=n_{\text{verdund}}=n\]
Het volumina van beide oplossing is echter verschillend:
\[V_{\text{onderdund}}=0,750\ \rm{L},\hspace{1cm} V_{\text{verdund}}=1,00\ \rm{L}\]
De concentratie van de onverdunde oplossing is gegeven en die van het verdunde mengsel moet worden berekend.
\[c_{\text{onverdund}}=2,50\ \rm{mol\ L^{-1}},\hspace{1cm} c_{\text{verdund}}=?\]
Met de gegevens op een rijtje kan de berekeningen worden uitgevoerd. Bereken eerst de chemische hoeveelheid van de stof en verdeel dit vervolgens over het nieuwe volume.
Het aantal mol suiker van de onverdunde oplossing kan direct worden berekend.
\[n\left(\rm{C_6H_{12}O_6}\right)=2,50\ \rm{mol\ L^{-1}}\cdot 0,750\ \rm{L}\approx 1,88\ \rm{mol}\]
Met het aantal mol bekend kan de concentratie in de nieuwe oplossing worden berekend.
\[c_{\text{verdund}}=\frac{n\left(\rm{C_6H_{12}O_6}\right)}{V_{\text{verdund}}}=\frac{1,88\ \rm{mol}}{1,00\ \rm{L}}=1,88\ \rm{mol\ L^{-1}}\]
De molariteit van de oplossing is dus veranderd van 2,50 M naar 1,88 M.
Voorbeeld 10. Verdunnen van een oplossing
Een oplossing van 1,5 liter met 3,0 M KOH wordt verdund door 500 mL water toe te voegen. Bereken de nieuwe concentratie van de verdunde oplossing.
Uitwerking
Gegeven zijn het volume en de concentratie van een stof. Met de verdunningsregel kan de concentratie worden berekend.
\[c_1=3,0\ \rm{mol\ L^{-1}},\ \ c_2=\ ?\ ,\ \ V_1=1,5\ \rm{L}\]
Er is 500 mL water toegevoegd aan een 1,5 L oplossing. Het volume van de verdunde stof \(V_2\) is dan,
\[V_2=(1,5+0,500)\ \rm{L}\]
Hiermee kan de verdunningsregel worden opgesteld.
\[\underbrace{3,0\ mol\ L^{-1}}_{C_1} \cdot \underbrace{1,5\ \rm{L}}_{V_1}=c_2\cdot \underbrace{2,0\ \rm{L}}_{V_2}\]
De concentratie van de verdunde stof \(c_2\) kan dan worden berekend door de formule om te bouwen,
\[c_2=\frac{3,0\ \rm{mol\ L^{-1}}\cdot 1,5\ \rm{L}}{2,0\ \rm{L}}\approx 2,3\ \rm{mol\ L^{-1}}\]
De concentratie van de stof na verdunning is dus 2,3 M.
3.2. De verdunningsfactor weergeeft de schaal van verdunning
De verdunningsregel kan worden toegepast wanneer een stof moet worden verdund. Vanaf het moment dat echter meerdere verdunningen worden gemaakt van een stof, dan is het telkens opnieuw toepassen van de verdunningsregel al gauw veel werk. Daarom kan het ook handiger zijn om de verdunningsfactor \(F\) te berekenen dat de verhouding in volume weergeeft tussen het overgebrachte volume \(V_{\text{stof}}\) en het totale volume van de oplossing \(V_{\text{totaal}}\). Het totale volume is het volume van de stof \(V_{\text{stof}}\) en het volume van de oplossing zonder de stof \(V_i\) (\(i\) van index). \[V_{\text{totaal}}=V_{\text{stof}}+V_i\] Zo kan dan voor de verdunningsfactor \(F\) worden geschreven. \[F=\frac{V_{\text{stof}}}{V_{\text{totaal}}}=\frac{V_{\text{stof}}}{(V_{\text{stof}}+V_i)} \tag{verdunningsfactor}\label{verdunningsfactor}\] Daarnaast kan de verdunningsfactor ook worden berekend met de concentraties van de stoffen. Zo kan voor twee verschillende concentraties \(c_1\) en \(c_2\) worden berekend: \[F=\frac{c_1}{c_2}\] Opmerking: de verdunningsfactor heeft geen officiële letternotatie, maar wordt in dit hoofdstuk verder gebruikt voor de leesbaarheid.
Voorbeeld 11. Verdunningsfactor
Bereken de verdunningsfactor in elk van onderstaande oplossingen. Een oplossing van 5,0 M NaCl wordt verdund tot 2,0 M NaCl.
- Bereken de verdunningsfactor.
- Bereken het volume van de initiële oplossing wanneer het volume van de verdunde oplossing 400 mL is.
a. De concentraties van de stoffen zijn bekend, de kortste klap is dan om verhouding van de concentraties te gebruiken. Met \( c_1=5,0\ \rm{M} \) en \(c_2=2,0\ \rm{M}\) kan verder worden berekend, \[F=\frac{5,0\ \rm{M}}{2,0\ \rm{M}}=2,5\] b. Het volume van de verdunde oplossing (V_2=400 mL) is gegeven. \[400\ \rm{mL}=V_1⋅2,5\] Dat kan worden omgebouwd tot, \[V_1=\frac{400\ \rm{mL}}{2,5}=160\ \rm{mL} \] Het volume \(V_1\) van de initiële oplossing is dus 160 mL.
Wanneer een opgeloste stof meerdere malen wordt verdund dan is de totale verdunningsfactor het product van alle verdunningsfactoren van elke verdunning. Stel een aantal verdunningen worden uitgevoerd, aangeduid met de letter \(n\). Dan is de totale verdunningsfactor \(F_{\text{totaal}}\) het product van alle \(n\) verdunningsfactoren. \[F_{\text{totaal}}=F_1\cdot F_2\cdot F_3\cdot\ldots\cdot F_{n-1}\cdot F_n\]
Of met de meer wiskundige notatie, waarin \(\Pi\) (hoofdletter \(\pi\)) het product weergeeft van n aantal verdunningsfactoren. \[F_{\text{totaal}}=\prod^{n}F_n\]
Voorbeeld 12. Totale verdunningsfactor
Dit kan worden geïllustreerd door naar verschillende verdunningen te kijken. Wanneer een oplossing 1:2 wordt verdund en vervolgens wordt de oplossing nogmaals 1:8 verdund. Dan is de totale verdunningsfactor \[F_{totaal}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{16}\] Een oplossing wordt eerst 2 keer verdund. De oplossing wordt vervolgens weer 3 keer verdund. De totale verdunningsfactor is dan, \[F_{totaal}=2\cdot3=6\] Wanneer de verdunningsfactoren echter constant zijn, dus deze bij elke verdunning gelijk blijft. Dan kan het in een exponent worden geschreven. \[F_{\rm{totaal}}=F^{n},\hspace{1cm} F=F_1=F_2\] In de chemische analyse komt het voor dat een serie van verdunning moet wordt gemaakt van een oplossing. Deze verdunningen vormen een reeks, de verdunningsreeks. Bij een verdunningsreeks wordt een stof steeds verdund over meerdere oplossingen.
Voorbeeld 13. Verdunningsreeks
Om de concentratie van een stof te bepalen wordt een standaardreeks gemaakt. Een standaardreeks wordt opgesteld door te beginnen met een oplossing met een bekende concentratie. Deze wordt telkens verdund een vaste hoeveelheid over te brengen in de volgende verdunning. Zo wordt bij iedere overdracht de stof verdund.
Neem 2,0 M van een kleurstof. Een rij van 10 reageerbuisjes wordt opgesteld. Het eerste buisje bevat 2,0 M van de kleurstof. De rest van de buisjes zijn gevuld met 80 mL water. Uit de 2,0 M oplossing wordt 20 mL overgebracht naar het tweede buisje. De oplossing wordt homogeen (evenredig verdeeld) gemaakt en vervolgens wordt weer 20 mL van de tweede buis overgebracht in de derde buis. Deze stap wordt voor alle buizen verder herhaald.
Deze verdunningsreeks kan dan in een tabel worden samengevat.
De verdunningsfactor van de serie is dan \(F=\frac{20}{20+80}=\frac{1}{5}\) en zo kan de concentratie van elke verdunning worden berekend door de concentratie van de voorgaande stof te vermenigvuldigen met dezelfde verdunningsfactor.
\[c_n=F\cdot c_{n-1}\]
| buis | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C (M) | 2,0 | 0,4 | 0,08 | 0,016 | 3,2⋅10−3 | 6,4⋅10−4 | 1,3⋅10−4 | 2,6⋅10−5 | 5,1⋅10−6 | 1,0⋅10−6 |
Gezien de verdunningsfactor steeds gelijk blijft kan elke verdunning worden berekend in de serie. Zoals voor elke meetkundige rij kan voor elke rij in een serie worden berekend, \[c_n=F^{n-1}\cdot c_0\] Controle: \(c_{10}=\left(\frac{1}{5}\right)^9\cdot 2,0\ \rm{M}=1,0\cdot 10^{-6}\ \rm{M}\)
Dit is een voorbeeld van een meetkundige rij.
Test je kennis
a. Bereken de molaire concentratie ethanol in een fles.
Bereken het aantal ppm suiker in een oplossing met een massapercentage van 12% m/m.