Getallen

2. Breuken

Een alternatieve weergave van deelsommen zijn breuken. Breuken zijn verdeeld in twee delen; de teller en de noemer. De teller is het getal boven de deelstreep en de noemer is de waarde onder de deelstreep. \[ \mathrm{\frac{teller}{noemer}} \] De deelsom 6:2 kan bijvoorbeeld worden geschreven als een breuk. \[ 6:2=\frac{6}{2}=3 \] Met 6 als de teller en 2 als de noemer.

2.1. Vereenvoudigen van breuken

Omdat breuken een alternatieve weergave zijn betekent dit ook dat dit een tegengestelde bewerking is van een vermenigvuldiging. Wanneer twee dezelfde waarden in de teller en noemer staan mogen dezen tegen elkaar worden weggestreept. Op deze manier kunnen breuken worden vereenvoudigd. Zo geldt bijvoorbeeld dat \[ 2\times3:2=3 \] Als een getal door zichzelf wordt gedeeld, valt deze weg. Ditzelfde principe geldt ook voor breuken, zo kunnen we bijvoorbeeld ook schrijven \[ \frac{2\times3}{2}=3 \] Voor grotere getallen kan het vereenvoudigen worden gedaan door gemeenschappelijke delers te zoeken in de teller en noemer. Zo kan de breuk 4/8 (lees: vier achtste) ook worden geschreven als 1/2 (lees: één tweede) \[ \frac{4}{8}=\frac{2\times2\times1}{2\times2\times2}=\frac{1}{2}=0,5 \] Als je beide breuken in de rekenmachine zou invoeren zou je ook twee keer hetzelfde antwoord krijgen.

Voorbeeld 1: breuken vereenvoudigen

Vereenvoudig de breuken

  1. \( \frac{6}{18} \)
  2. \( \frac{64}{160} \)
  3. \( \frac{13}{30} \)

1. Beide getallen zijn deelbaar door zes. De breuk kan dus worden vereenvoudigd. \[ \frac{6}{18}=\frac{6}{6\times3}=\frac{1}{3} \]

2. Deel de getallen zo ver mogelijk op en streep gelijke waarden weg in de teller en noemer. \[ \frac{64}{160}=\frac{8\times8}{8\times20}=\frac{8}{20} \] \[ \frac{8}{20}=\frac{2\times4}{5\times4}=\frac{2}{5} \]

3. Het getal in de teller (13) is een priemgetal en 30 is niet deelbaar door 13. Deze breuk kan dus niet ver worden vereenvoudigd.

Getallen dat als een breuk kan worden geschreven van gehele getallen heten ook wel de rationale getallen. Breuken bestaan uitsluitend uit gehele getallen, want breuken zijn eigenlijk een andere weergave van decimale getallen. Zo kan worden gesteld dat “Alle breuken kunnen worden geschreven als decimaal getal, maar niet alle decimale getallen kunnen worden geschreven als een breuk.” Maar voordat we voorbeelden doornemen van breuken en decimale getallen is het goed om eerst om de rekenregels van breuken door te nemen.

2.2. Optellen van breuken

Wanneer twee breuken bij elkaar worden opgeteld moet eerst de noemer gelijk worden gemaakt. Dit kan door de noemers eerst met elkaar te vermenigvuldigen en daarna de tellers van de breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk.

Voorbeeld 2: Optellen van breuken

Bereken de som \[ 2+\frac{1}{4} \]
Schrijf het gehele getal eerst als een breuk \[ \frac{2}{1}+\frac{1}{4} \] We kunnen de breuken gelijk maken door de breuk van twee te herschrijven \[ \frac{2}{1}=\frac{2\times4}{1\times4}=\frac{8}{4} \] We vervangen deze waarde in de som en berekenen de som: \[ \frac{8}{4}+\frac{1}{4}=\frac{8+1}{4}=\frac{9}{4} \]

2.3. Vermenigvuldigen van breuken

Bij het vermenigvuldigen van een breuk wordt de tellers en de noemers van beide breuken vermenigvuldigd. \frac{a}{b}\times\frac{x}{y}=\frac{a\times x}{b\times y} Een geheel getal vermenigvuldigd met een breuk is gelijk aan het gehele getal keer de noemer.

Voorbeeld 3: Vermenigvuldiging van breuken

Bereken de sommen:

  1. \( 3\times\frac{5}{8} \)
  2. \( \frac{2}{3}\times\frac{4}{5} \)

1. \(3\times\frac{5}{8}=\frac{3}{1}\times\frac{5}{8}=\frac{3\times5}{1\times8}=\frac{15}{8}\)

2. \(\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}\)

2.4. Delen van breuken

Wanneer twee breuken door elkaar worden gedeeld, dan is dit gelijk aan een vermenigvuldiging van de breuk met de omgekeerde breuk. Hierbij wordt de breuk in de noemer omgedraaid: \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{x}{y}}=\frac{a}{b}/\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\times\frac{y}{x}=\frac{a\times x}{b\times y} \]

Voorbeeld 4: Delen van breuken

Bereken de som

  1. \( \frac{\frac{3}{4}}{11} \)
  2. \( \frac{\frac{3}{7}}{\frac{11}{9}} \)
\[ \frac{\frac{3}{4}}{11}=\frac{3}{4}/\frac{11}{1}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{11}=\frac{3}{44} \] \[ \frac{\frac{3}{7}}{\frac{11}{9}}=\frac{3}{7}/\frac{11}{9}=\frac{3}{7}\times\frac{9}{11}=\frac{27}{77} \]

2.5. Breuken en decimale cijfers

Een breuk mag geen decimale cijfers bevatten, want in de meeste gevallen zijn decimale cijfers zelf breuken. Om een decimaal cijfer als breuk te schrijven, schrijf het eerst als een breuk van 100 en vereenvoudig deze vervolgens. Andersom kan een soortgelijke methode worden toegepast. Schrijf de breuk als een breuk van 100 en reken deze om naar een decimale cijfer. Een breuk van 100 geeft namelijk aan dat de komma twee plaatsen worden opgeschoven naar links.

Voorbeeld 5: Decimale getallen als breuk

Schrijf onderstaande decimale getallen als een breuk.

  1. \( 0,2 \)
  2. \( 0,06 \)
  3. \( 1,3 \)

1. Begin eerst te vermenigvuldigen tot er een geheel getal uitkomt. Dit kunnen we doen door te vermenigvuldigen met 10. \[ 0,2=\frac{0,2\times10}{10}=\frac{2}{10} \] Een gemeenschappelijke deler kan worden gevonden door de 10 in de noemer op te splitsen als een product van twee en vijf. Op deze manier kan de breuk verder worden vereenvoudigd. \[ \frac{2}{10}=\frac{2}{2\times5}=\frac{1}{5} \]

2. Dezelfde strategie wordt toegepast, alleen moet ditmaal worden vermenigvuldigd met 100 in plaats van 10. \[ 0,06=\frac{0,06\times100}{100}=\frac{6}{100} \] Door de teller en noemer op te splitsen in gemeenschappelijke delers kan de breuk verder worden vereenvoudigd. \[ \frac{6}{100}=\frac{2\times3}{2\times50}=\frac{3}{50} \]

3. In dit geval is het getal groter dan een, dus de teller wordt dan ook groter dan de noemer. Het decimale getal moet eerst worden omgezet naar een geheel getal. Dit kan worden gedaan door vermenigvuldigen met 10 en het te schrijven als een breuk van 10. \[ 1,3=\frac{1,3\times10}{10}=\frac{13}{10} \] Deze breuk is niet verder te vereenvoudigen, want 13 is een priemgetal.

Schrijf onderstaande breuken als een decimaal getal.

  1. \( \frac{7}{10} \)
  2. \( \frac{4}{5} \)
  3. \( \frac{1}{25} \)

1. Je kan het getal meteen delen door 10, dus de komma schuift dan één plaats naar links in plaats van twee. Of schrijf het eerst als breuk van 100 en reken deze daarna om. \[ \frac{7}{10}=\frac{70}{100}=0,7 \]

2. Schrijf eerst als een breuk van 100 en reken deze daarna om. \[ \frac{4}{5}=\frac{4\times20}{5\times20}=\frac{80}{100} \] \[ \frac{80}{100}=0,8 \]

3. Schrijf wederom eerst als een breuk van 100. \[ \frac{1}{25}=\frac{1\times4}{25\times4}=\frac{4}{100} \] Reken deze vervolgens om: \[ \frac{4}{100}=0,04 \]

<< < 1 2 3 4 > >>