Getallen

3. Machten

In de vorige sectie is de basis uitgelegd van basisbewerkingen van machten en wortels. In deze sectie zal dit onderwerp uitgebreider worden behandeld, zoals de relatie van machten en wortels en hoe deze te vereenvoudigen.

Voordat het verband tussen wortels en machten kan worden weerlegd is het goed om eerst weer even stil te staan bij machten in zijn geheel. Bij het rekenen van machten zijn namelijk de volgende rekenregels van toepassing. Om weer even op de termen op een rijtje te krijgen, machten bestaan uit een grondgetal \(g\) en een exponent \(x\). Het grondgetal is het getal dat wordt vermenigvuldigd en het exponent is het aantal maal. Dus in de formule: \[g^x\] Met als voorbeeld: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

3.1. Optellen en aftrekken van machten

Voor het optellen of aftrekken van machten moet volgens de rekenregels worden gewerkt. Eerst worden de machten berekend en daarna worden deze bij elkaar opgeteld.

Voorbeeld 1: Optellen van machten

Bereken de sommen:

  1. \( 3^2 + 2^2 \)
  2. \( 3^2 + 3^5 \)
  3. \( 5^2 + 5^2 \)

1. We tellen hier het kwadraat van drie en van twee bij elkaar op. Dit schrijven we dan uit als: \[ 3^2 × 2^2 = 3×3+2×2= 9 + 4 = 13 \] 2. We hebben drie in het kwadraat en drie tot de macht vijf. Deze schrijven we op dezelfde manier uit: \[ 3^2 + 3^5 = 3×3+3×3×3×3×3=9+243 \] 3. We hebben twee keer vijf in het kwadraat, dus we hebben twee gelijke termen. Gelijke termen kunnen worden samengenomen en dus hoeven we niet twee keer vijf in het kwadraat te berekenen. We berekenen eerst het kwadraat van vijf en vermenigvuldigen deze met twee. \[ 5^2 + 5^2 = 2×5^{2}=2×25=50 \]

3.2. Vermenigvuldigen en delen van machten

Wanneer de grondgetallen gelijk aan elkaar zijn, dan kan bij een vermenigvuldiging alleen de exponenten bij elkaar worden opgeteld. Bij het delen geldt het omgekeerde, dan wordt het verschil in exponent berekend, Maar let op: dit geldt dus niet wanneer het grondgetal verschillend is. Dit principe zal weer worden toegelicht aan de hand van een paar voorbeelden.

Voorbeeld 2: Vermenigvuldiging van machten met gelijk grondgetal

Bereken de sommen:

  1. \( 2^2 × 2^2 \)
  2. \( 3^5 : 3^3 \)
  3. \( 5^2 × 3^2 \)

1. We schrijven de sommen uit: \[ 2^2 × 2^2 = 2×2 × 2×2 = 16 \] Het valt op dat dit gelijk is aan \(2^4\) en hieruit valt de rekenregel af te leiden: \[2^2 \times 2^2 = 2^{2+2} = 2^4 = 16\] 2. In dit geval delen we. Dus als we weer het geheel uitschrijven: \[ 3^5 : 3^3 = 3×3×3×3×3 : (3×3×3) = 243:27=9\] Hier valt op dat dit gelijk is aan \(3^2\) en hieruit valt de rekenregel af te leiden: \[ 3^5 : 3^3 = 3^{5-3} = 3^2 \] Een andere methode om dit te bewijzen is door het als een breuk te schrijven. \[ \frac{3^5}{3^3} = \frac{3×3×3×3×3}{3×3×3} \] Wanneer gelijke getallen in de teller en in de noemer staan kunnen deze tegen elkaar worden weggestreept, en zo zien we dat: \[ \frac{3×3×3×3×3}{3×3×3} = \frac{3×3}{1} = 3×3 = 3^2 = 9 \] 3. In deze som zijn twee kwadraten. Ze hebben een ander grondgetal, maar het exponent is gelijk. Deze som kan dan worden berekend als \[ 5^2 × 3^2 =5×5×3×3= 25×9=225 \] Het valt op dat dit gelijk is aan \(15^2\) hieruit valt af te leiden dat \[ 5^2 × 3^2 = (5×3)^2 = 15^2 = 225 \] En andersom werkt dit natuurlijk ook zo. Wanneer een kwadraat moet worden berekend van een groot getal kan deze worden opgesplitst in kleinere getallen.

3.3. Machten in breuken

Breuken zijn eigenlijk verdelingen of deelsommen. Daarom gelden voor breuken ook dezelfde regels als hiervoor beschreven voor vermenigvuldigingen. Toch kan het soms tot verwarring leiden wanneer eerst een deelsom met een dubbele punt wordt weergegeven en daarna ineens als een breuk. Daarom is het goed om het hier toch even te herhalen.
In het voorbeeld 2 was te zien dat wanneer het exponent gelijk is maar de grondgetallen anders zijn dan de regel kan worden toegepast \[ g^2×v^2=(g×v)^2 \] Waarin \(g\) en \(v\) twee verschillende getallen zijn, of in wiskundige notatie \( g≠v\). Deze regel kan ook worden toegepast op een deelsom en dus op een breuk. \[ \frac{g^2}{v^2}=\left(\frac{g}{v}\right)^2 \]

Voorbeeld 3: machten in breuken

Bereken onderstaande sommen:

  1. \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)
  2. \( \frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
  3. \( \left(\frac{1}{6}\right)^2:\frac{1}{12} \)

1. We hebben het kwadraat van een breuk. Dit is het kwadraat van de teller en de noemer. De som kan dan als volgt worden opgelost \[\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{2\times2}{3\times3}=\frac{4}{9}\]

2. Voor het vermenigvuldigen van breuken doen we de teller keer de teller en de noemer keer de noemer. Volgens de rekenregels moet alleen eerst het kwadraat worden opgelost. Maar omdat we twee dezelfde breuken zien kunnen we de breuk herschrijven. \[ \frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\times\frac{1^2}{2^2}=\frac{1} {2}\times\frac{1\times1}{2\times2}=\frac{1\times1\times1}{2\times2\times2}=\frac{1}{8} \] De som kan dus ook worden geschreven als een macht van drie \[ \frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1\times1\times1}{2\times2\times2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8} \]

3. Dit keer wordt een breuk gedeeld door een breuk. Een rekenregel voor het rekenen met breuken is dat het delen door een breuk gelijk is aan het vermenigvuldigen met het omgekeerde van de breuk. \[\left(\frac{1}{6}\right)^2:\frac{1}{12}=\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\frac{12}{1}=\left(\frac{1}{6}\right)^2\times12\] Los de macht op uit de breuk, maar bereken nog niet de uitkomst \[\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{6\times6}\] Samengevoegd krijgen we de vergelijking \[\left(\frac{1}{6}\right)^2:\frac{1}{12}=\left(\frac{1}{6}\right)^2\times12=\frac{1}{6\times6}\times12=\frac{12}{6\times6}\] De reden dat we de breuk nog niet hebben opgelost is omdat we de 12 kunnen opdelen in gemeenschappelijke delers. \[12=2\times6\] Als we dit invullen in de breuk, dan zien we dat we twee waarden tegen elkaar weg kunnen strepen \[\frac{12}{6\times6}=\frac{2\times6}{6\times6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\] Dit scheelt veel omrekenen wat vooral gunstig is vanaf het moment dat er geen rekenmachine mag worden gebruikt(!)

3.4. Negatieve machten

Gebroken machten of wortels zijn machten met een breuk als exponent. Om te begrijpen waarom een wortel als een gebroken macht kan worden geschreven hervatten we eerst even het decimale stelsel (zie onderstaande tabel).

\({10}^{-3}\) \({10}^{-2}\) \({10}^{-1}\) \({10}^{0}\) \({10}^{1}\) \({10}^{2}\) \({10}^{3}\)
\( \frac{10}{{10}^4} \) \( \frac{10}{{10}^3} \) \( \frac{10}{{10}^2} \) \( \frac{10}{{10}} \) \( \frac{10^2}{10} \) \( \frac{10^3}{10} \) \( \frac{10^4}{10} \)
\( \frac{1}{{10}^3} \) \( \frac{1}{{10}^2} \) \( \frac{1}{{10}} \) \( 1 \) \( 10 \) \( 10^2 \) \( 10^3 \)

Hieruit kunnen we de algemene rekenregel voor negatieve machten afleiden, met grondgetal \(g\) en exponent \(x\): \[ g^{-x}=\frac{1}{g^x} \] Daarnaast is te zien dat een getal tot de macht 0 altijd gelijk is aan 1. In andere woorden, er is geen onderverdeling wanneer het exponent gelijk is aan 0. Wanneer het exponent negatief is geeft dit niet meer het aantal maal dat een grondgetal wordt vermenigvuldigd, maar eerder het aantal maal dat er over het grondgetal wordt verdeeld. Dit is ook wat een breuk is, een verdeling van de teller over de noemer.

Voorbeeld 4: Verdelingen van machten

Bereken onderstaande sommen.

  1. \( 3^{-2} \)
  2. \( 5^2\times5^{-1} \)
  3. \( 2^{-2}\times\frac{1}{2} \)

1. Een negatieve macht kan worden geschreven als een breuk met de macht in de noemer. Werk deze macht vervolgens uit \[ 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9} \]

2. Het grondgetal is gelijk dus het is mogelijk om de som van de exponenten te berekenen. \[ 5^2\times5^{-1}=5^{\left(2-1\right)}=5^1=5 \] Een tweede methode is door de negatieve macht eerst als een breuk te schrijven en daarna gelijke getallen in de teller en noemer wegstrepen. \[ 5^2\times5^{-1}=5^2\times\frac{1}{5}=\frac{5^2}{5}=\frac{5\times5}{5}=5 \]

3. Schrijf de termen in gelijke vorm en los deze daarna op. Een negatieve macht is gelijk aan een breuk van de macht. \[ 2^{-2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2\times2\times2}=\frac{1}{8} \] De breuk kon ook als een negatieve macht worden geschreven. Dit geeft twee dezelfde grondgetallen en dus kan de som van de exponent worden berekend. \[ 2^{-2}\times\frac{1}{2}=2^{-2}\times2^{-1}=2^{\left(-2-1\right)}=2^{-3}=8^{-1} \]

3.5. Gebroken machten

Tot zover zijn machten behandeld waarin de exponent steeds een geheel getal was. Wanneer de exponent geen geheel getal is maar een breuk, dan wordt er gesproken over een gebroken macht. Een praktisch bewijs van gebroken machten is de rekenregel van machten met een gelijk grondgetal. Op deze manier kan namelijk ook worden bewezen dat \[ 4^\frac{1}{2}\cdot4^\frac{1}{2}=4^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)}=4^1=4 \] of, \[ 4^\frac{1}{2}\times4^\frac{1}{2}=\left(4^\frac{1}{2}\right)^2=4^{\left(\frac{1}{2}\times2\right)}=4^\frac{2}{2}=4^1=4 \] Het valt op dat het product van deze twee gebroken machten gelijk is aan het grondgetal zelf. In andere woorden, als we het herschrijven als \[ 4^\frac{1}{2}\times4^\frac{1}{2}=2\times2=4 \] en dus \[ 4^\frac{1}{2}=\frac{4}{4^\frac{1}{2}} \] en \[ 2=\frac{4}{2} \] Als we even terugblikken op sectie 1 over wortels, dan valt het op dat dit dezelfde formule is als voor de wortel. Wortels kunnen als gebroken machten worden geschreven. Ze geldt dat \[ \sqrt4=4^\frac{1}{2}=2 \]

Voorbeeld 5: Wortels als gebroken machten

Schrijf onderstaande sommen als gebroken macht

  1. \( \sqrt9 \)
  2. \( \sqrt[2]{4}\times\sqrt2 \)
  3. \( \sqrt[5]{3} \)

1. Een wortel kan worden geschreven als macht. We zien een vierkantswortel van negen. Gezien het niet de opdracht is om dit te berekenen, maar te schrijven als een gebroken macht kan het in een stap worden opgelost: \[ \sqrt9=9^\frac{1}{2} \]

2. We zien twee vierkantswortels. Als er geen getal is aangegeven links boven de wortel, dan kan dit worden gelezen als een twee. Dus de wortel van vier is een vierkantswortel. \[ \sqrt[2]{4}=\sqrt4 \] En de som is dan ook \[ \sqrt4\times\sqrt2=4^\frac{1}{2}\times2^\frac{1}{2} \] Omdat de exponenten gelijk zijn kan de som worden herschreven waardoor er een gebroken macht uitkomt. \[ 4^\frac{1}{2}\times2^\frac{1}{2}=\left(4\times2\right)^\frac{1}{2}=8^\frac{1}{2} \]

3. In dit geval is er een vijfdegraads wortels. Ook hier gelden dezelfde regels als voor de vierkantswortel alleen wordt het exponent nu geschreven als een breuk van vijf. \[ \sqrt[5]{3}=3^\frac{1}{5} \]

In de vorige secties zijn vermenigvuldigingen en verdelingen van een grondgetal besproken, maar wat nou als de exponent een breuk is? Wat zegt de exponent dan over de verdeling van het grondgetal? Bij een gebroken macht wordt het grondgetal zelf onderverdeeld in kleine gelijke delen. Waar bij een negatieve macht een verdeling was over de macht van het grondgetal gaat het bij gebroken machten niet over het verdelen van de machten, maar alleen het grondgetal zelf. Dit zal beter worden uitgelegd in de volgend sectie wanneer we gaan kijken naar het rekenen met wortels.

<< < 1 2 3 4 > >>