Getallen

Bereken de zijden van een vierkant met een oppervlak van \( \mathrm{225\ }\mathrm{m}^\mathrm{2} \).

Een vierkant is een vierhoek met gelijke zijden. Het oppervlak wordt berekend door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte. \[ \mathrm{oppervlak} =l\times b \] Als alle zijden \( (z) \) gelijk zijn, en dus de lengte gelijk is aan de breedte, dan kan worden gesteld \( z=l=b \). Het oppervlak wordt dan gegeven door \[ \mathrm{oppervlak}=z\times z=z^2 \] Als de wortel van beide kanten wordt genomen, kan krijgen we de formule \[ \sqrt{\mathrm{oppervlak}}=\sqrt{z^2}=z \] Dus voor de vierkant met oppervlakte 225 m² geldt dan
\( \sqrt{225}=15 \), want \( 15\times15=225 \)
Hieruit kan de naam vierkantswortel ook worden verklaard. Een vierkantswortel geeft de zijden van een vierkant.

Schrijf onderstaande machten als wortels

1. \({10}^\frac{1}{3}\)
2. \( \left(2+3\right)^\frac{1}{2} \)
3. \( {13}^\frac{1}{3}\times{13}^\frac{1}{4} \)

De formule kan direct worden toegepast zonder tussenstap. \[ {10}^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{10} \]

2. Nu kunnen de getallen binnen de haakjes eerst worden berekend, maar om te illustreren hoe wordt omgegaan met getallen binnen haakjes wordt even net gedaan alsof dit niet mogelijk is. Alle getallen binnen de haakjes dienen direct binnen de wortel te worden geschreven. \[ \left(2+3\right)^\frac{1}{2}=\sqrt[2]{2+3}=\sqrt{2+3}=\sqrt5 \] De twee linksboven de wortel hoeft niet te worden geschreven.

3. Hier zijn twee waarden met verschillende exponenten geschreven, maar met hetzelfde grondgetal dus kunnen de exponenten bij elkaar worden opgeteld. \[ {13}^\frac{1}{3}\times{13}^\frac{1}{4}={13}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}={13}^\frac{7}{12} \] De noemer van de exponent wordt linksboven de wortel geschreven en de teller wordt als exponent van het grondgetal binnen de wortel geschreven. \[ {13}^\frac{7}{12}=\sqrt[12]{{13}^7} \]

Bereken de wortels indien mogelijk

1. \( \sqrt2+\sqrt5 \)
2. \( 2\times\sqrt5+\sqrt5 \)
3. \( \sqrt{2^2+2\times6} \)

1. We hebben twee priemgetallen. Deze som staan al in de basisvorm.

2. In dit geval zijn er twee gelijke termen \( \sqrt5 \). Deze kunnen worden samengenomen. \[ 2\times\sqrt5+\sqrt5=3\times\sqrt5 \]

3. De getallen in de wortel dienen eerst te worden berekend. Daarna wordt de wortel berekend van de uitkomst. \[ \sqrt{2^2+2\times6}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4 \]

Bereken onderstaande sommen

1. \( 2\times\sqrt3\times3\times\sqrt2 \)
2. \( \sqrt{\frac{9}{4}}\times\sqrt4 \)
3. \( \sqrt{0,25} \)

1. Vermenigvuldigingen zijn commutatief, wat inhoudt dat de volgorde niet uitmaakt voor de uitkomst. De wortels worden met elkaar vermenigvuldigd en de gehele getallen worden ook met elkaar vermenigvuldigd. \[ 2\times3\times\sqrt3\times\sqrt2=6\times\sqrt{2\times3}=6\times\sqrt6 \]

2. Een wortel van een breuk kan worden geschreven als een breuk van de teller en de noemer. \[ \sqrt{\frac{9}{4}}\times\sqrt4=\frac{\sqrt9}{\sqrt4}\times\sqrt4 \] Een vermenigvuldiging van een breuk kan worden geschreven als een breuk. Het valt op dat \( \sqrt4 \) tegen elkaar wegvalt. Dan hoeft alleen maar de wortel van negen te worden berekend. \[ \frac{\sqrt9}{\sqrt4}\times\sqrt4=\frac{\sqrt9\times\sqrt4}{\sqrt4}=\sqrt9=3 \]

3. Door 0,25 te schrijven als een breuk kan de wortel vrij snel worden opgelost. \[ \sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt4} \] \( \sqrt1=1 \) want \( 1\times1=1 \) Dus de breuk kan worden herschreven \[ \frac{\sqrt1}{\sqrt4}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac{1}{2}=0,5 \] En dit klopt ook, want \( 0,5\times0,5=0,25 \)

Bereken onderstaande sommen

1. \( \sqrt{5^2} \)
2. \( \sqrt{72} \)

1. We hebben een macht in een wortel. Een wortel zonder getal links boven de wortel kan worden gelezen als een tweedegraads wortel. Zo kan worden beredeneerd dat \[ \sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5 \]

2. In dit geval is er een getal in de wortel waarvan de wortel niet direct kan worden berekend. Verdeel eerst het getal in gemeenschappelijke delers: \[ 72=8\times9=2\times 2\times 2\times 3\times 3 \] Het valt op dat gemeenschappelijke delers twee en drie beiden vaker voorkomen. We kunnen dit dan ook schrijven als: \[ 2\times2\times2\times3\times3=2^2\times2\times3^2 \] Met de wortel \[ \sqrt{72}=\sqrt{2^2\times2\times3^2} \] Wanneer een kwadraat in een wortel voorkomt kan deze uit de wortel worden gehaald. Dit kan worden aangetoond door de wortels als losse producten te schrijven: \[ \sqrt{2^2\times 2\times 3^2}=\sqrt{2^2}\times\sqrt2\times\sqrt{3^2}=2\times\sqrt2\times 3 \] Gehele getallen worden berekend en de basisvorm is dan \[ 2\times3\times\sqrt2=6\times\sqrt2=6\sqrt2 \] Het vermenigvuldigingsteken wordt hier weggelaten. Het is een gebruikelijk om het in de vorm te schrijven zonder vermenigvuldigingsteken, tenzij er verwarring kan ontstaan.